Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (Bernoulli)
\frac{d y}{d x}-\frac{2 y}{x}=3 x y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}\,y=3x\,y^{2},
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • É uma equação diferencial de primeira ordem envolvendo y e y^2.
  • Os coeficientes dependem de x: aparece -\dfrac{2}{x} e 3x.
  • A variável independente é x (assumir x\neq0 porque há termo \dfrac{2}{x}).
  • O objetivo é encontrar a solução geral, com constante(s) de integração.

Passo 2

Identificação do tipo de transformação útil (explicação didática).
A equação tem o formato
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}
com P(x)=-\dfrac{2}{x}, Q(x)=3x e n=2. Para equações desse formato (quando n\neq0,1) usa-se a substituição
z=y^{\,1-n}.
Aqui 1-n=1-2=-1, então define-se
z=y^{-1}=\frac{1}{y}.
Vou explicar por quê: a substituição transforma a equação não linear em uma equação linear para z. A conta mostra isso no próximo passo.

Passo 3

Derivada de z em termos de y (mostrar passo a passo).
Definindo z=y^{-1}, temos
\frac{dz}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(y^{-1}\bigr)=( -1 )\,y^{-2}\,\frac{dy}{dx} = -y^{-2}\,\frac{dy}{dx}.
Isolando \dfrac{dy}{dx} fica
\frac{dy}{dx} = -y^{2}\,\frac{dz}{dx}.
Agora substituímos essa expressão na equação original.

Passo 4

Substituição na equação original e obtenção da equação linear para z.
Começando de
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=3x\,y^{2},
substituindo \dfrac{dy}{dx}=-y^{2}\dfrac{dz}{dx}
- y^{2}\frac{dz}{dx} -\frac{2}{x}y = 3x\,y^{2}.
Dividindo ambos os lados por y^{2} (valendo quando y\neq0) obtemos
- \frac{dz}{dx} - \frac{2}{x}\,y^{-1} = 3x.
Lembrando que y^{-1}=z, isso vira
- \frac{dz}{dx} - \frac{2}{x}\,z = 3x.
Multiplicando por -1:
\frac{dz}{dx} + \frac{2}{x}\,z = -3x.
Pronto: agora temos uma equação linear de primeira ordem em z.

Passo 5

Resolver a equação linear para z usando fator integrante (explicar a ideia).
A equação é da forma
\frac{dz}{dx}+P(x)\,z=R(x)
com P(x)=\dfrac{2}{x} e R(x)=-3x. O método do fator integrante diz para calcular
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr)=\exp\!\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr).
Calcule a integral:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x| = \ln|x|^{2},
então
\mu(x)=e^{\ln|x|^{2}}=x^{2},
usando x\neq0. O fator integrante x^{2} serve para escrever a equação como derivada de um produto:
\frac{d}{dx}\bigl(\mu(x)\,z\bigr)=\mu(x)\,R(x).

Passo 6

Aplicar o fator integrante e integrar (mostrar as contas).
Multiplicando a equação por \mu(x)=x^{2} obtemos
x^{2}\frac{dz}{dx} + 2x\,z = x^{2}(-3x) = -3x^{3}.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}z\bigr) = -3x^{3}.
Integramos ambos os lados em x:
x^{2}z = \int -3x^{3}\,dx = -3\cdot\frac{x^{4}}{4} + C = -\frac{3}{4}x^{4} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Isolar z e voltar para y.
Temos
z = -\frac{3}{4}x^{2} + Cx^{-2}.
Lembrando que z=\dfrac{1}{y}, então
\frac{1}{y} = -\frac{3}{4}x^{2} + Cx^{-2}.
Isolando y obtemos a solução explícita:
y = \frac{1}{-\dfrac{3}{4}x^{2} + Cx^{-2}}.
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por 4x^{2} para uma forma alternativa mais “limpa”:
y = \frac{4x^{2}}{4C - 3x^{4}}.
Ambas as formas são equivalentes; C é a constante arbitrária da solução geral. Lembrar que x\neq0 e que valores de C que zerem o denominador em algum ponto dão singularidades.

Passo 8

Comentário final didático e sobre domínio.
  • A constante C é arbitrária e determina diferentes soluções particulares.
  • A solução não é válida em x=0 por causa do termo \dfrac{2}{x} na equação original; portanto o domínio é um intervalo em que x\neq0.
  • Forma conveniente da solução geral: y=\dfrac{1}{-\tfrac{3}{4}x^{2}+Cx^{-2}} ou y=\dfrac{4x^{2}}{4C-3x^{4}}.

Resposta

y(x)=\frac{1}{-\dfrac{3}{4}x^{2}+C x^{-2}}=\frac{4x^{2}}{4C-3x^{4}},
onde C é constante arbitrária e x\neq0.

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