Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (Bernoulli)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- É uma equação diferencial de primeira ordem envolvendo
e . - Os coeficientes dependem de
: aparece e . - A variável independente é
(assumir porque há termo ). - O objetivo é encontrar a solução geral, com constante(s) de integração.
Passo 2
Identificação do tipo de transformação útil (explicação didática).
A equação tem o formato
A equação tem o formato
com
,
e
. Para equações desse formato (quando
) usa-se a substituição
Aqui
, então define-se
Vou explicar por quê: a substituição transforma a equação não linear em uma equação linear para
. A conta mostra isso no próximo passo.
Passo 3
Derivada de
em termos de
(mostrar passo a passo).
Definindo , temos
Definindo
Isolando
fica
Agora substituímos essa expressão na equação original.
Passo 4
Substituição na equação original e obtenção da equação linear para
.
Começando de
Começando de
substituindo
dá
Dividindo ambos os lados por
(valendo quando
) obtemos
Lembrando que
, isso vira
Multiplicando por
:
Pronto: agora temos uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 5
Resolver a equação linear para
usando fator integrante (explicar a ideia).
A equação é da forma
A equação é da forma
com
e
. O método do fator integrante diz para calcular
Calcule a integral:
então
usando
. O fator integrante
serve para escrever a equação como derivada de um produto:
Passo 6
Aplicar o fator integrante e integrar (mostrar as contas).
Multiplicando a equação por obtemos
Multiplicando a equação por
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolar
e voltar para
.
Temos
Temos
Lembrando que
, então
Isolando
obtemos a solução explícita:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
para uma forma alternativa mais “limpa”:
Ambas as formas são equivalentes;
é a constante arbitrária da solução geral. Lembrar que
e que valores de
que zerem o denominador em algum ponto dão singularidades.
Passo 8
Comentário final didático e sobre domínio.
- A constante
é arbitrária e determina diferentes soluções particulares. - A solução não é válida em
por causa do termo na equação original; portanto o domínio é um intervalo em que . - Forma conveniente da solução geral:
ou .
Resposta
onde
é constante arbitrária e
.