Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (exata)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (exata)
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação está na forma
. - Os coeficientes são
e . - O enunciado já indica que a equação é exata (ou seja, existe uma função potencial
tal que ). - O objetivo é encontrar a solução geral implícita
, onde é constante.
Passo 2
O que significa ser uma equação exata e como verificar isso (aula rápida).
- Uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função com
- Uma condição prática e necessária (e suficiente em domínio apropriado) para exatidão é
ou seja, as derivadas parciais cruzadas coincidem. Aqui
indica derivada parcial: por exemplo
significa derivar
em relação a
mantendo
fixo.
Passo 3
Verificação da exatidão para os
e
dados.
Calcule as derivadas parciais:
Calcule as derivadas parciais:
Como
, a condição de exatidão é satisfeita. Logo existe
tal que
.
Passo 4
Construção da função potencial
— ideia e passo inicial.
- Procedimento padrão: integrar
em relação a , tratando como constante, pois . - Ao integrar em
surge uma “constante” de integração que pode depender de ; chamamos essa função de .
Aplicando isso:
Passo 5
Integração explícita de
em relação a
.
Usando as regras básicas de integração de polinômios (para ,
):
Usando as regras básicas de integração de polinômios (para
onde
é a função de integração que depende apenas de
. Portanto temos uma expressão candidata para
:
Passo 6
Determinar
usando a condição
.
- Calcule
a partir da expressão candidata:
onde
é a derivada de
em relação a
.
- Temos que
deve ser igual a . Igualando:
Passo 7
Resolver para
e obter
.
Da igualdade do passo anterior segue:
Da igualdade do passo anterior segue:
Integrando em
,
onde
é uma constante real. Assim a função potencial completa é
Como a constante pode ser absorvida no lado direito da solução implícita, podemos escrever a solução geral como
, com
constante arbitrária.
Passo 8
Escrever a solução geral final e, opcionalmente, rearranjar.
A solução geral implícita da equação diferencial é
A solução geral implícita da equação diferencial é
onde
é constante arbitrária. Pode-se também fatorar
se desejar:
Passo 9
Verificação rápida (checagem) diferenciando a solução implícita para confirmar que reobtém a equação original.
- Diferenciando
implicitamente:
que é exatamente a equação dada, portanto a solução está correta.