Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (exata)
\left(x^{2}-y^{2}\right) d x-2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (exata)
\left(x^{2}-y^{2}\right) d x-2 x y d y=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
  • Os coeficientes são M(x,y)=x^{2}-y^{2} e N(x,y)=-2xy.
  • O enunciado já indica que a equação é exata (ou seja, existe uma função potencial \psi(x,y) tal que d\psi=M\,dx+N\,dy).
  • O objetivo é encontrar a solução geral implícita \psi(x,y)=C, onde C é constante.

Passo 2

O que significa ser uma equação exata e como verificar isso (aula rápida).
  • Uma equação diferencial na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função \psi(x,y) com
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y).
  • Uma condição prática e necessária (e suficiente em domínio apropriado) para exatidão é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},
ou seja, as derivadas parciais cruzadas coincidem. Aqui \partial indica derivada parcial: por exemplo \partial M/\partial y significa derivar M em relação a y mantendo x fixo.

Passo 3

Verificação da exatidão para os M e N dados.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)=-2y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2xy\bigr)=-2y.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=-2y, a condição de exatidão é satisfeita. Logo existe \psi(x,y) tal que d\psi=M\,dx+N\,dy.

Passo 4

Construção da função potencial \psi(x,y) — ideia e passo inicial.
  • Procedimento padrão: integrar M(x,y) em relação a x, tratando y como constante, pois \psi_x=M.
  • Ao integrar em x surge uma “constante” de integração que pode depender de y; chamamos essa função de h(y).
    Aplicando isso:
\psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Integração explícita de M em relação a x.
Usando as regras básicas de integração de polinômios (para x^n, \int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)):
\int\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,dx=\int x^{2}\,dx-\int y^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}-x y^{2}+h(y),
onde h(y) é a função de integração que depende apenas de y. Portanto temos uma expressão candidata para \psi:
\psi(x,y)=\frac{x^{3}}{3}-x y^{2}+h(y).

Passo 6

Determinar h(y) usando a condição \psi_{y}=N.
  • Calcule \partial \psi/\partial y a partir da expressão candidata:
\frac{\partial \psi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x^{3}}{3}-x y^{2}+h(y)\right)=-2xy+h'(y),
onde h'(y) é a derivada de h em relação a y.
  • Temos que \psi_{y} deve ser igual a N(x,y)=-2xy. Igualando:
-2xy+h'(y)=-2xy.

Passo 7

Resolver para h'(y) e obter h(y).
Da igualdade do passo anterior segue:
h'(y)=0.
Integrando em y,
h(y)=C_{0},
onde C_{0} é uma constante real. Assim a função potencial completa é
\psi(x,y)=\frac{x^{3}}{3}-x y^{2}+C_{0}.
Como a constante pode ser absorvida no lado direito da solução implícita, podemos escrever a solução geral como \psi(x,y)=C, com C constante arbitrária.

Passo 8

Escrever a solução geral final e, opcionalmente, rearranjar.
A solução geral implícita da equação diferencial é
\frac{x^{3}}{3}-x y^{2}=C,
onde C é constante arbitrária. Pode-se também fatorar x se desejar:
x\!\left(\frac{x^{2}}{3}-y^{2}\right)=C.

Passo 9

Verificação rápida (checagem) diferenciando a solução implícita para confirmar que reobtém a equação original.
  • Diferenciando \psi(x,y)=\dfrac{x^{3}}{3}-x y^{2}=C implicitamente:
d\psi=\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dx-2xy\,dy=0,
que é exatamente a equação dada, portanto a solução está correta.

Resposta

\frac{x^{3}}{3}-x y^{2}=C

Exercícios relacionados