Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (linear)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (linear)
Informações dadas:
- A equação envolve as variáveis
e . - O termo com
é . - O termo do lado direito é
.
Pergunta a responder: - Determinar a família de soluções
que satisfazem a equação diferencial para em domínios onde a equação é bem definida (ou seja, ).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. A forma padrão é
onde
e
são funções conhecidas de
. A equação dada é
Logo, identificamos
Passo 3
Explicação do método (fórmula e ideia): usar o fator integrante.
- Para uma equação na forma
, define-se o fator integrante
- Multiplicando a equação por
transforma-se o lado esquerdo em uma derivada exata do produto , isto é,
- Assim a equação passa a ser
que se integra facilmente em relação a
.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo ao nosso caso. Não precisa decorar além disso: basta identificar
, calcular
, multiplicar e integrar.
Passo 4
Calcular o fator integrante
.
Temos , então
Temos
Calcule a integral no expoente:
Portanto
Usando propriedades de exponenciais e logaritmos,
Como multiplicar por uma constante positiva (ou sinal) pode ser absorvido na constante de integração final, escolhemos para trabalhar com mais simplicidade
observando que isso é válido em cada intervalo onde
mantém o mesmo sinal (isto é, para
).
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. A equação original é
Multiplicando por
obtemos
Simplificando cada termo:
-
. -
.
Então a equação fica
Passo 6
Verificar que o lado esquerdo é a derivada do produto
.
Calcule a derivada:
Calcule a derivada:
E
Logo
que coincide exatamente com o lado esquerdo obtido no passo anterior. Portanto a equação multiplicada pode ser escrita como
Passo 7
Integrar ambos os lados em relação a
.
A integral do lado esquerdo simplesmente recupera o produto:
onde
é uma constante arbitrária de integração, escrita aqui como
.
Passo 8
Resolver para
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Distribuindo,
Passo 9
Interpretação final e domínio. A solução geral encontrada é
onde
é constante arbitrária. Esta solução foi obtida assumindo
ao usar o fator integrante
. Em cada intervalo onde
tem sinal fixo (por exemplo
ou
) essa expressão é a solução geral. Eventuais extensões em
dependem de condições adicionais; a equação original tem singularidade em
, então não se pode garantir que a solução se estenda de maneira única por
sem informação extra.