Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (linear)
\frac{d y}{d x}-\frac{2 y}{x}=x^{3}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (linear)
\frac{d y}{d x}-\frac{2 y}{x}=x^{3}.
Informações dadas:
  • A equação envolve as variáveis x e y.
  • O termo com y é -\dfrac{2y}{x}.
  • O termo do lado direito é x^{3}.
    Pergunta a responder:
  • Determinar a família de soluções y(x) que satisfazem a equação diferencial para x em domínios onde a equação é bem definida (ou seja, x\neq 0).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. A forma padrão é
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x. A equação dada é
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=x^{3}.
Logo, identificamos
P(x)=-\frac{2}{x},\qquad Q(x)=x^{3}.

Passo 3

Explicação do método (fórmula e ideia): usar o fator integrante.
  • Para uma equação na forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x), define-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
  • Multiplicando a equação por \mu(x) transforma-se o lado esquerdo em uma derivada exata do produto \mu(x)y, isto é,
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
  • Assim a equação passa a ser
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)Q(x),
que se integra facilmente em relação a x.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo ao nosso caso. Não precisa decorar além disso: basta identificar P(x), calcular \mu(x), multiplicar e integrar.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x).
Temos P(x)=-\dfrac{2}{x}, então
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int -\frac{2}{x}\,dx}.
Calcule a integral no expoente:
\int -\frac{2}{x}\,dx = -2\int \frac{1}{x}\,dx = -2\ln|x|.
Portanto
\mu(x)=e^{-2\ln|x|}.
Usando propriedades de exponenciais e logaritmos,
\mu(x)=\big(e^{\ln|x|}\big)^{-2}=|x|^{-2}.
Como multiplicar por uma constante positiva (ou sinal) pode ser absorvido na constante de integração final, escolhemos para trabalhar com mais simplicidade
\mu(x)=x^{-2},
observando que isso é válido em cada intervalo onde x mantém o mesmo sinal (isto é, para x\neq 0).

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(x)=x^{-2}. A equação original é
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=x^{3}.
Multiplicando por x^{-2} obtemos
x^{-2}\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}x^{-2}y = x^{-2}\,x^{3}.
Simplificando cada termo:
  • -\dfrac{2}{x}x^{-2}y = -2x^{-3}y.
  • x^{-2}x^{3}=x^{1}=x.
    Então a equação fica
x^{-2}\frac{dy}{dx}-2x^{-3}y = x.

Passo 6

Verificar que o lado esquerdo é a derivada do produto x^{-2}y.
Calcule a derivada:
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big) = x^{-2}\frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(x^{-2})\cdot y.
E
\frac{d}{dx}(x^{-2}) = -2x^{-3}.
Logo
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big) = x^{-2}\frac{dy}{dx} - 2x^{-3}y,
que coincide exatamente com o lado esquerdo obtido no passo anterior. Portanto a equação multiplicada pode ser escrita como
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)=x.

Passo 7

Integrar ambos os lados em relação a x.
\int \frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)\,dx = \int x\,dx.
A integral do lado esquerdo simplesmente recupera o produto:
x^{-2}y = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é uma constante arbitrária de integração, escrita aqui como C.

Passo 8

Resolver para y. Multiplicando ambos os lados por x^{2} obtemos
y = x^{2}\left(\frac{x^{2}}{2} + C\right).
Distribuindo,
y = \frac{x^{4}}{2} + Cx^{2}.

Passo 9

Interpretação final e domínio. A solução geral encontrada é
y(x)=\frac{x^{4}}{2}+Cx^{2},
onde C é constante arbitrária. Esta solução foi obtida assumindo x\neq 0 ao usar o fator integrante x^{-2}. Em cada intervalo onde x tem sinal fixo (por exemplo x>0 ou x<0) essa expressão é a solução geral. Eventuais extensões em x=0 dependem de condições adicionais; a equação original tem singularidade em x=0, então não se pode garantir que a solução se estenda de maneira única por x=0 sem informação extra.

Resposta

y(x)=\frac{x^{4}}{2}+Cx^{2}

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