Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (exata)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
As informações explícitas que temos:
- O coeficiente de
é . - O coeficiente de
é . - A tarefa é obter a solução geral (constante de integração incluída).
Passo 2
Explicando o conceito essencial (com calma): uma equação diferencial na forma
é dita exata se existe uma função
tal que
Se
existe, então diferenciando
obtemos exatamente
, ou seja, as soluções são as curvas de nível
constante.
Uma forma prática de checar exatidão: calcular
e verificar se são iguais numa região onde as funções são contínuas.
Agora aplicando isso ao problema: calculemos as derivadas parciais.
Passo 3
Calcule
. Lembre que ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
Calcule
. Ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
Como
a equação é exata. Boa notícia: então existe
com
e
.
Passo 4
Procedimento para encontrar
: integrar
em relação a
, tratando
como constante. Isso dá uma
mais uma função arbitrária
(porque a constante de integração pode depender de
).
Integramos termo a termo:
Aqui
é constante no integral em
, então
E
Logo
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Agora impomos a condição
para achar
. Calcule
a partir da expressão encontrada:
Devemos ter
. Portanto
Isto implica
. Assim
é constante, digamos
.
Passo 6
Substituindo
em
obtemos a função potencial completa:
A solução geral da equação diferencial é dada pelas curvas de nível
constante; podemos absorver o
e escrever a solução implícita como
Respira fundo — essa é a solução geral, e o método foi: checar exatidão, integrar
em
, determinar a função de
pela condição sobre
, e escrever
constante.