Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (exata)
\left(2 x \cos (y)-e^{x}\right) d x-x^{2} \operatorname{sen}(y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
\left(2 x \cos(y)-e^{x}\right) dx - x^{2}\sin(y)\, dy = 0.
As informações explícitas que temos:
  • O coeficiente de dx é M(x,y)=2x\cos y - e^{x}.
  • O coeficiente de dy é N(x,y)=-x^{2}\sin y.
  • A tarefa é obter a solução geral (constante de integração incluída).

Passo 2

Explicando o conceito essencial (com calma): uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é dita exata se existe uma função \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y).
Se \psi existe, então diferenciando \psi(x,y)=C obtemos exatamente M\,dx+N\,dy=0, ou seja, as soluções são as curvas de nível \psi(x,y)= constante.
Uma forma prática de checar exatidão: calcular
\frac{\partial M}{\partial y} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial N}{\partial x}
e verificar se são iguais numa região onde as funções são contínuas.
Agora aplicando isso ao problema: calculemos as derivadas parciais.

Passo 3

Calcule \dfrac{\partial M}{\partial y}. Lembre que ao derivar em relação a y tratamos x como constante.
M(x,y)=2x\cos y - e^{x}
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x\cdot \frac{d}{dy}(\cos y) - \frac{d}{dy}(e^{x}) = 2x(-\sin y) - 0 = -2x\sin y.
Calcule \dfrac{\partial N}{\partial x}. Ao derivar em relação a x tratamos y como constante.
N(x,y)=-x^{2}\sin y
\frac{\partial N}{\partial x} = -\sin y\cdot \frac{d}{dx}(x^{2}) = -\sin y\cdot 2x = -2x\sin y.
Como
\frac{\partial M}{\partial y} = -2x\sin y = \frac{\partial N}{\partial x},
a equação é exata. Boa notícia: então existe \psi(x,y) com \psi_x=M e \psi_y=N.

Passo 4

Procedimento para encontrar \psi: integrar M em relação a x, tratando y como constante. Isso dá uma \psi(x,y) mais uma função arbitrária h(y) (porque a constante de integração pode depender de y).
Integramos termo a termo:
\psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx = \int\big(2x\cos y - e^{x}\big)\,dx.
Aqui \cos y é constante no integral em x, então
\int 2x\cos y\,dx = \cos y \int 2x\,dx = \cos y\cdot x^{2}.
E
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Logo
\psi(x,y)=x^{2}\cos y - e^{x} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Agora impomos a condição \psi_{y}=N para achar h(y). Calcule \psi_{y} a partir da expressão encontrada:
\psi_{y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\cos y - e^{x} + h(y)\big) = x^{2}\cdot \frac{d}{dy}(\cos y) + 0 + h'(y) = -x^{2}\sin y + h'(y).
Devemos ter \psi_{y}=N(x,y)=-x^{2}\sin y. Portanto
-x^{2}\sin y + h'(y) = -x^{2}\sin y.
Isto implica h'(y)=0. Assim h(y) é constante, digamos h(y)=C.

Passo 6

Substituindo h(y)=C em \psi obtemos a função potencial completa:
\psi(x,y)=x^{2}\cos y - e^{x} + C.
A solução geral da equação diferencial é dada pelas curvas de nível \psi(x,y)= constante; podemos absorver o +C e escrever a solução implícita como
x^{2}\cos y - e^{x} = \text{constante}.
Respira fundo — essa é a solução geral, e o método foi: checar exatidão, integrar M em x, determinar a função de y pela condição sobre \psi_{y}, e escrever \psi= constante.

Resposta

x^{2}\cos y - e^{x} = C

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