Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (exata)
e^{x} d x+\left(x e^{y}-2 y\right) d y=0

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei os coeficientes da equação dada). A equação diferencial é
e^{y}\,dx+\bigl(x e^{y}-2y\bigr)\,dy=0.
O que se pede: encontrar a solução geral dessa equação diferencial de primeira ordem (exata).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O coeficiente de dx é M(x,y)=e^{y}.
  • O coeficiente de dy é N(x,y)=x e^{y}-2y.
  • A equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 e o enunciado diz que é exata, então vamos verificar e resolver como tal.

Passo 2

Vou verificar a condição de exatidão. Para uma equação M\,dx+N\,dy=0 ser exata é necessário e suficiente que as derivadas parciais satisfaçam
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as parciais:
  • Como M(x,y)=e^{y}, tem-se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}\bigr)=e^{y}.
  • Como N(x,y)=x e^{y}-2y, tem-se
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{y}-2y\bigr)=e^{y}.
Comparando, \dfrac{\partial M}{\partial y}=e^{y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}. Logo a equação é exata: existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que d\Phi=M\,dx+N\,dy.

Passo 3

Com a exatidão confirmada, existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=e^{y}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y)=x e^{y}-2y.
Vou construir \Phi integrando \partial \Phi/\partial x em relação a x:
\Phi(x,y)=\int e^{y}\,dx = x e^{y} + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender apenas de y.

Passo 4

Agora determino h(y) impondo que \partial \Phi/\partial y = N(x,y). Calculo
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^{y}+h(y)\bigr)=x e^{y}+h'(y).
Deve ser igual a N(x,y)=x e^{y}-2y. Igualando:
x e^{y}+h'(y)=x e^{y}-2y.
Subtraindo x e^{y} dos dois lados obtém-se
h'(y)=-2y.
Integro em y:
h(y)=\int -2y\,dy = -y^{2} + C_1,
onde C_1 é constante. Podemos absorver C_1 depois na constante final da solução implícita.

Passo 5

Substituo h(y) em \Phi. Assim a função potencial é
\Phi(x,y)=x e^{y}-y^{2} + C_1.
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por \Phi(x,y)= constante. Eliminando C_1 e chamando a constante final de C, obtemos a família de curvas:
x e^{y}-y^{2}=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x e^{y}-y^{2}=C

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