Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (exata)
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei os coeficientes da equação dada). A equação diferencial é
O que se pede: encontrar a solução geral dessa equação diferencial de primeira ordem (exata).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O coeficiente de
é . - O coeficiente de
é . - A equação está na forma
e o enunciado diz que é exata, então vamos verificar e resolver como tal.
Passo 2
Vou verificar a condição de exatidão. Para uma equação
ser exata é necessário e suficiente que as derivadas parciais satisfaçam
Calculo as parciais:
- Como
, tem-se
- Como
, tem-se
Comparando,
. Logo a equação é exata: existe uma função potencial
tal que
.
Passo 3
Com a exatidão confirmada, existe
tal que
Vou construir
integrando
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender apenas de
.
Passo 4
Agora determino
impondo que
. Calculo
Deve ser igual a
. Igualando:
Subtraindo
dos dois lados obtém-se
Integro em
:
onde
é constante. Podemos absorver
depois na constante final da solução implícita.
Passo 5
Substituo
em
. Assim a função potencial é
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
constante. Eliminando
e chamando a constante final de
, obtemos a família de curvas:
onde
é constante arbitrária.