Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (exata)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Vou listar claramente o que o problema fornece e o que é pedido:
- Dados:
-
(o coeficiente de ). -
(o coeficiente de ).
-
- Pedido: encontrar a solução geral (implícita) da equação diferencial de primeira ordem.
Passo 2
Explicação do conceito que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
- Uma equação diferencial na forma
é chamada exata se existe uma função potencial tal que Em termos práticos, uma condição suficiente e simples para exatidão (quando são continuamente diferenciáveis) é Aqui significa “derivar tratando como constante” e significa “derivar tratando como constante”. - Vamos calcular essas derivadas parciais para o nosso
e :
Como
, a equação é exata (em todo
onde as funções são contínuas). Ou seja, existe
com as propriedades acima.
Passo 3
Como encontrar a função potencial
(método prático e aplicável na prova).
- Começa-se integrando
em relação a (tratando como constante). Isso porque , então Integrando termo a termo (lembrando que é constante ao integrar em ): Ao integrar parcialmente introduzimos uma “constante” de integração que pode depender de (porque derivando em essa função desaparece). Então onde é uma função desconhecida de (a encontrar).
Passo 4
Determinar
usando a relação
.
- Diferenciamos
em relação a (agora é tratado como constante): - Como devemos ter
, igualamos: Subtraindo dos dois lados obtemos
Passo 5
Integrar
para obter
.
- Integramos em
: onde é constante. Em podemos omitir essa constante particular pois, ao escrever a solução geral como , qualquer constante adicionada a é absorvida no lado direito. Portanto podemos escolher
Passo 6
Montar a função potencial final e escrever a solução geral.
- Substituindo
em obtemos - A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
ou seja onde é constante arbitrária. - (Verificação rápida: derivando
obtemos e , que reproduzem exatamente e , portanto está correto.)