Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (exata)
\left(x^{3}+y^{2}\right) d x+(2 x y+\cos (y)) d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
\left(x^{3}+y^{2}\right)\,dx+(2xy+\cos(y))\,dy=0.
Vou listar claramente o que o problema fornece e o que é pedido:
  • Dados:
    • M(x,y)=x^{3}+y^{2} (o coeficiente de dx).
    • N(x,y)=2xy+\cos(y) (o coeficiente de dy).
  • Pedido: encontrar a solução geral (implícita) da equação diferencial de primeira ordem.

Passo 2

Explicação do conceito que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Uma equação diferencial na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0é chamada exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.Em termos práticos, uma condição suficiente e simples para exatidão (quando M,N são continuamente diferenciáveis) é \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.Aqui \frac{\partial M}{\partial y} significa “derivar M tratando x como constante” e \frac{\partial N}{\partial x} significa “derivar N tratando y como constante”.
  • Vamos calcular essas derivadas parciais para o nosso M e N: \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+y^{2}\bigr)=2y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy+\cos(y)\bigr)=2y.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=2y, a equação é exata (em todo \mathbb{R}^2 onde as funções são contínuas). Ou seja, existe \Phi(x,y) com as propriedades acima.

Passo 3

Como encontrar a função potencial \Phi(x,y) (método prático e aplicável na prova).
  • Começa-se integrando M em relação a x (tratando y como constante). Isso porque \Phi_x=M, então \Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\bigl(x^{3}+y^{2}\bigr)\,dx.Integrando termo a termo (lembrando que y é constante ao integrar em x): \int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4},\qquad \int y^{2}\,dx = x\,y^{2}.Ao integrar parcialmente introduzimos uma “constante” de integração que pode depender de y (porque derivando em x essa função desaparece). Então \Phi(x,y)=\frac{x^{4}}{4}+x\,y^{2}+h(y),onde h(y) é uma função desconhecida de y (a encontrar).

Passo 4

Determinar h(y) usando a relação \Phi_{y}=N.
  • Diferenciamos \Phi(x,y) em relação a y (agora x é tratado como constante): \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x^{4}}{4}+x y^{2}+h(y)\right)=2xy+h'(y).
  • Como devemos ter \Phi_{y}=N, igualamos: 2xy+h'(y)=2xy+\cos(y).Subtraindo 2xy dos dois lados obtemos h'(y)=\cos(y).

Passo 5

Integrar h'(y) para obter h(y).
  • Integramos em y: h(y)=\int \cos(y)\,dy=\sin(y)+C,onde C é constante. Em \Phi podemos omitir essa constante particular pois, ao escrever a solução geral como \Phi(x,y)=\text{constante}, qualquer constante adicionada a \Phi é absorvida no lado direito. Portanto podemos escolher h(y)=\sin(y).

Passo 6

Montar a função potencial final e escrever a solução geral.
  • Substituindo h(y) em \Phi obtemos \Phi(x,y)=\frac{x^{4}}{4}+x y^{2}+\sin(y).
  • A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por \Phi(x,y)=C,ou seja \frac{x^{4}}{4}+x y^{2}+\sin(y)=C,onde C é constante arbitrária.
  • (Verificação rápida: derivando \Phi obtemos \Phi_x=x^{3}+y^{2} e \Phi_y=2xy+\cos(y), que reproduzem exatamente M e N, portanto está correto.)

Resposta

\dfrac{x^{4}}{4}+x\,y^{2}+\sin(y)=C

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