Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (separável)
\frac{d y}{d x}=\cos (x+y)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
\frac{d y}{d x}=\cos(x+y).
Informações dadas:
  • A equação relaciona a derivada \dfrac{dy}{dx} com o argumento x+y.
  • A incógnita é a função y(x).
  • Queremos a família de soluções gerais (com constante(s) arbitrária(s)) que satisfaça a equação para x em algum intervalo.

Passo 2

Observação útil (motivação da técnica): a presença de x+y no cosseno sugere simplificar esse argumento. Faça a substituição
u = x+y.
Agora explique por que isso ajuda: diferencie u em relação a x. Aplicando a regra da soma para derivadas (a derivada de x é 1 e a derivada de y(x) é dy/dx):
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x+y) = 1 + \frac{dy}{dx}.
Como a equação original diz que \dfrac{dy}{dx}=\cos(x+y)=\cos(u), substituindo obtemos
\frac{du}{dx} = 1 + \cos(u).
Isto transformou a equação original numa equação para u(x) cuja variável aparece apenas em função de u no lado direito — boa notícia, podemos separar variáveis.

Passo 3

Separe as variáveis para integrar:
\frac{du}{1+\cos u} = dx.
Aqui a ideia de separação é colocar todos os termos envolvendo u com du e todos os termos envolvendo x com dx, para então integrar ambos os lados.

Passo 4

Integre ambos os lados. Primeiro transforme o integrando com uma identidade trigonométrica para simplificar:
1+\cos u = 2\cos^2\!\left(\frac{u}{2}\right).
Portanto
\frac{1}{1+\cos u} = \frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{u}{2}\right).
Agora integre:
\int \frac{du}{1+\cos u} = \int \frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{u}{2}\right)\,du.
Para calcular a integral do lado esquerdo, faça a substituição w=\dfrac{u}{2} (ou note diretamente que a primitiva de \operatorname{sec}^2 é \tan):
\int \frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{u}{2}\right)\,du = \int \operatorname{sec}^2(w)\,dw = \tan w + C = \tan\!\left(\frac{u}{2}\right) + C,
onde C é constante de integração. Do outro lado \int dx = x + C_1; combinando as constantes (substituindo C_1-C por uma nova constante C) obtemos a relação implícita
\tan\!\left(\frac{u}{2}\right) = x + C.

Passo 5

Volte à variável original y. Lembrando que u=x+y, temos
\tan\!\left(\frac{x+y}{2}\right)=x+C.
Esta é a forma implícita da solução geral (com C\in\mathbb{R}). Se quiser uma forma explícita para y, aplique a função arco-tangente:
\frac{x+y}{2}=\arctan(x+C)+k\pi\quad(k\in\mathbb{Z}),
o que dá
y(x)=2\arctan(x+C)-x + 2k\pi.
Observação importante sobre casos singulares: ao separar dividimos por 1+\cos u. Se 1+\cos u=0 em um intervalo, a separação não é válida nesse caso; esse caso é tratado separadamente. Se 1+\cos u=0 então \cos u=-1 e u é constante igual a (2k+1)\pi. Isso dá as soluções particulares
y(x)=(2k+1)\pi - x,\qquad k\in\mathbb{Z},
que satisfazem a equação original (verifique: dy/dx=-1 e \cos(x+y)=\cos((2k+1)\pi)=-1, consistente).

Passo 6

Resumo da família de soluções e comentário prático: a forma implícita \tan\!\left(\dfrac{x+y}{2}\right)=x+C é a maneira mais compacta de escrever a família geral. A forma explícita y=2\arctan(x+C)-x representa a mesma família usando a ramo principal de \arctan; as diferenças de ramo (adições de 2k\pi) estão indicadas pela constante inteira k mostrada acima. Não esquecer de incluir as soluções singulares y=(2k+1)\pi-x.

Resposta

\tan\!\left(\dfrac{x+y}{2}\right)=x+C,\\ C\in\mathbb{R}.
\displaystyle y(x)=2\arctan(x+C)-x (com possibilidade de adicionar 2k\pi, k\in\mathbb{Z}).
Soluções singulares: \displaystyle y(x)=(2k+1)\pi - x,\\ k\in\mathbb{Z}.

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