Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (separável)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
Informações dadas:
- A equação relaciona a derivada
com o argumento . - A incógnita é a função
. - Queremos a família de soluções gerais (com constante(s) arbitrária(s)) que satisfaça a equação para
em algum intervalo.
Passo 2
Observação útil (motivação da técnica): a presença de
no cosseno sugere simplificar esse argumento. Faça a substituição
Agora explique por que isso ajuda: diferencie
em relação a
. Aplicando a regra da soma para derivadas (a derivada de
é
e a derivada de
é
):
Como a equação original diz que
, substituindo obtemos
Isto transformou a equação original numa equação para
cuja variável aparece apenas em função de
no lado direito — boa notícia, podemos separar variáveis.
Passo 3
Separe as variáveis para integrar:
Aqui a ideia de separação é colocar todos os termos envolvendo
com
e todos os termos envolvendo
com
, para então integrar ambos os lados.
Passo 4
Integre ambos os lados. Primeiro transforme o integrando com uma identidade trigonométrica para simplificar:
Portanto
Agora integre:
Para calcular a integral do lado esquerdo, faça a substituição
(ou note diretamente que a primitiva de
é
):
onde
é constante de integração. Do outro lado
; combinando as constantes (substituindo
por uma nova constante
) obtemos a relação implícita
Passo 5
Volte à variável original
. Lembrando que
, temos
Esta é a forma implícita da solução geral (com
). Se quiser uma forma explícita para
, aplique a função arco-tangente:
o que dá
Observação importante sobre casos singulares: ao separar dividimos por
. Se
em um intervalo, a separação não é válida nesse caso; esse caso é tratado separadamente. Se
então
e
é constante igual a
. Isso dá as soluções particulares
que satisfazem a equação original (verifique:
e
, consistente).
Passo 6
Resumo da família de soluções e comentário prático: a forma implícita
é a maneira mais compacta de escrever a família geral. A forma explícita
representa a mesma família usando a ramo principal de
; as diferenças de ramo (adições de
) estão indicadas pela constante inteira
mostrada acima. Não esquecer de incluir as soluções singulares
.
Resposta
Soluções singulares: