Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (linear)
\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=x.
Informações dadas:
  • A equação é de primeira ordem e envolve termos \dfrac{dy}{dx}, y e x.
  • Há uma singularidade aparente em x=0 porque aparece o termo \dfrac{y}{x}.
  • O objetivo é obter a família de soluções com constante arbitrária (solução geral), válida em intervalos onde a equação está bem definida (ou seja, em intervalos que não contenham x=0).

Passo 2

Vamos usar o método do fator integrante (integrating factor). Antes de aplicar, uma mini-aula sobre a ideia:
  • Uma equação linear de primeira ordem tem a forma padrão
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=g(x),
onde p(x) e g(x) são funções conhecidas de x. Aqui y é a função incógnita de x, e \dfrac{dy}{dx} é sua derivada.
  • O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
A propriedade útil é que ao multiplicar a equação padrão por \mu(x) a parte esquerda vira a derivada do produto \mu(x)y:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big)=\mu(x)\,g(x).
Assim basta integrar ambos os lados para encontrar \mu(x)\,y e daí y.
  • Observação sobre constante multiplicativa: se \mu(x) puder ser multiplicado por uma constante sem alterar a relação (o que acontece), pode-se escolher a forma mais simples de \mu(x) em cada intervalo onde \mu é bem definida.

Passo 3

Colocar a equação dada na forma padrão e identificar p(x) e g(x).
A equação é
\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x.
Reescrevendo na forma \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=g(x) obtemos
\frac{dy}{dx}+\big(-\tfrac{1}{x}\big)y = x.
Portanto
p(x)=-\frac{1}{x},\qquad g(x)=x.
Calcular o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp\!\big(-\ln|x|\big)=|x|^{-1}.
Para trabalhar concretamente em um intervalo onde x tem sinal definido (por exemplo x>0 ou x<0), podemos escolher
\mu(x)=\frac{1}{x},
pois multiplicar \mu por -1 não altera o processo (constante multiplicativa).

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=\dfrac{1}{x} e mostrar que a esquerda é a derivada de \dfrac{y}{x}.
Multiplicando:
\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x^2}y = 1.
Calcular a derivada do produto \dfrac{y}{x}:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{y'x - y}{x^2}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x^2}y.
Portanto a equação multiplicada pode ser escrita como
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=1.

Passo 5

Integrar ambos os lados para obter \dfrac{y}{x} e, em seguida, y.
Integrando em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)\,dx = \int 1\,dx
leads to
\frac{y}{x}=x+C,
onde C é a constante de integração (número real arbitrário). Multiplicando por x:
y = x(x+C)=x^2+Cx.
Lembrar do domínio: essa família de soluções foi obtida assumindo x\neq 0 (pois usamos \mu=\tfrac{1}{x} e a equação original não é definida em x=0). Assim a solução geral vale em qualquer intervalo que não contenha 0 (por exemplo x>0 ou x<0).

Passo 6

Verificação rápida (confirmação didática):
Tomando y(x)=x^2+Cx com C constante,
\frac{dy}{dx}=2x+C.
Substituindo na equação original:
\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=(2x+C)-\frac{x^2+Cx}{x}=(2x+C)-(x+C)=x,
o que confere com o lado direito. Portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=x^{2}+C x,\qquad x\neq0

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