Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (linear)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é de primeira ordem e envolve termos
, e . - Há uma singularidade aparente em
porque aparece o termo . - O objetivo é obter a família de soluções com constante arbitrária (solução geral), válida em intervalos onde a equação está bem definida (ou seja, em intervalos que não contenham
).
Passo 2
Vamos usar o método do fator integrante (integrating factor). Antes de aplicar, uma mini-aula sobre a ideia:
- Uma equação linear de primeira ordem tem a forma padrão
onde
e
são funções conhecidas de
. Aqui
é a função incógnita de
, e
é sua derivada.
- O fator integrante
é definido por
A propriedade útil é que ao multiplicar a equação padrão por
a parte esquerda vira a derivada do produto
:
Assim basta integrar ambos os lados para encontrar
e daí
.
- Observação sobre constante multiplicativa: se
puder ser multiplicado por uma constante sem alterar a relação (o que acontece), pode-se escolher a forma mais simples de em cada intervalo onde é bem definida.
Passo 3
Colocar a equação dada na forma padrão e identificar
e
.
A equação é
Reescrevendo na forma
obtemos
Portanto
Calcular o fator integrante:
Para trabalhar concretamente em um intervalo onde
tem sinal definido (por exemplo
ou
), podemos escolher
pois multiplicar
por
não altera o processo (constante multiplicativa).
Passo 4
Multiplicar a equação original por
e mostrar que a esquerda é a derivada de
.
Multiplicando:
Calcular a derivada do produto
:
Portanto a equação multiplicada pode ser escrita como
Passo 5
Integrar ambos os lados para obter
e, em seguida,
.
Integrando em relação a
:
leads to
onde
é a constante de integração (número real arbitrário). Multiplicando por
:
Lembrar do domínio: essa família de soluções foi obtida assumindo
(pois usamos
e a equação original não é definida em
). Assim a solução geral vale em qualquer intervalo que não contenha
(por exemplo
ou
).
Passo 6
Verificação rápida (confirmação didática):
Tomando
com
constante,
Substituindo na equação original:
o que confere com o lado direito. Portanto a solução está correta.