Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O problema pede para achar a solução geral da EDO
. Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro resolver a parte homogênea e depois encontrar uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
cujas raízes são
Assim a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular via coeficientes a determinar. Se
, então
não é raiz da característica. Como o termo do lado direito é
, tentamos
Calculamos
,
e substituímos em
; isso leva a
que deve ser igual a
. Igualando coeficientes obtemos
de onde
Logo
Passo 4
Se
, a raiz
é dupla, então a solução homogênea fica
Para o particular multiplicamos o chute por
. Como o lado direito é
, tentamos
Após calcular as derivadas e substituir em
achamos
que deve ser
. Assim
resultando em
Passo 5
A solução geral é a soma de
com
. Resumindo:
Para :
Para
com
.
Para :
Para
Resposta
Para
:
com
.
Para
: