Encontre a solução geral da equação diferencial y^prime prime-a y^prime+y=t e^t cdot b

Passo 1

O problema pede para achar a solução geral da EDO y''-a y'+y=b t e^t. Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro resolver a parte homogênea e depois encontrar uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
r^2 - a r + 1 = 0,
cujas raízes são
r1,2=apmraiza^2-42
Assim a solução homogênea é
yh(t)=C1e^r1t+C2e^r2t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular via coeficientes a determinar. Se aneq2, então r=1 não é raiz da característica. Como o termo do lado direito é b t e^t, tentamos
yp(t)=e^t(At+B)
Calculamos yp', yp'' e substituímos em y''-a y' +y; isso leva a
y''-a y'+y=e^t(2-a)l[At+(A+B)r],
que deve ser igual a b t e^t. Igualando coeficientes obtemos
(2-a)A=b, (2-a)(A+B)=0,
de onde
A= b2-a, B=- b2-a
Logo
yp(t)= b2-a(t-1)e^t

Passo 4

Se a=2, a raiz r=1 é dupla, então a solução homogênea fica
yh(t)=(C1+C2t)e^t
Para o particular multiplicamos o chute por t^2. Como o lado direito é b t e^t, tentamos
yp(t)=e^t(At^3+Bt^2)
Após calcular as derivadas e substituir em y''-2y'+y achamos
y''-2y'+y=e^t(6At+2B)
que deve ser b t e^t. Assim
6A=b, 2B=0,
resultando em
yp(t)= b6t^3e^t

Passo 5

A solução geral é a soma de yh com yp. Resumindo:
Para aneq2:
y(t)=C1e^r1t+C2e^r2t+ b2-a(t-1)e^t,
com r1,2=(apmraiza^2-4)/2.
Para a=2:
y(t)=(C1+C2t)e^t+ b6t^3e^t

Resposta

Para aneq2:
y(t)=C1e^r1t+C2e^r2t+ b2-a(t-1)e^t
com r1,2=apmraiza^2-42.
Para a=2:
y(t)=(C1+C2t)e^t+ b6t^3e^t

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