Encontre a solução geral da equação homogenea
associada à equação
, nos casos:
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem a equação homogênea associada
Esse é um EDO linear de coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica: montamos a equação algébrica, achamos as raízes e daí tiramos a forma da solução geral.
Passo 2
Escrever a equação característica trocando
:
Calcular o discriminante
$$
\Delta = a^2 - 4$$
Para decidir o tipo de solução, vamos analisar três situações: ,
e
.
Para decidir o tipo de solução, vamos analisar três situações:
Passo 3
Caso
: raízes reais e distintas
Como são duas raízes distintas, a solução geral é
que fica explicitamente
Passo 4
Caso
: raiz real dupla
Quando a raiz é dupla, a solução geral leva um fator
:
Passo 5
Caso
: raízes complexas conjugadas
Escrevendo em forma real, a solução geral é
Resposta
As soluções gerais do homogenéônio
são: