Encontre a solução geral da equação homogenea y^prime prime-a y^prime+y=0 associada à equação y^prime prime-a y^prime+y=t e^t cdot b, nos casos:

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a equação homogênea associada
y''-a y'+y=0
Esse é um EDO linear de coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica: montamos a equação algébrica, achamos as raízes e daí tiramos a forma da solução geral.

Passo 2

Escrever a equação característica trocando ysim e^rt:
r^2 - a r + 1 = 0
Calcular o discriminante
$$
\Delta = a^2 - 4$$
Para decidir o tipo de solução, vamos analisar três situações: De, De0 e De.

Passo 3

Caso De0: raízes reais e distintas
r1,2 = a pm raiza^2 - 42
Como são duas raízes distintas, a solução geral é
yh = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
que fica explicitamente
yh = C1 e^a + raiza^2 - 42t + C2 e^a - raiza^2 - 42t

Passo 4

Caso De: raiz real dupla
r = a2
Quando a raiz é dupla, a solução geral leva um fator t:
yh = (C1 + C2 t)e^a2t

Passo 5

Caso De: raízes complexas conjugadas
r1,2 = a2 pm i,raiz4 - a^22
Escrevendo em forma real, a solução geral é
yh = e^a2tl(C1 cosl(tfracraiz4-a^22tr) + C2 sinl(tfracraiz4-a^22tr)r)

Resposta

As soluções gerais do homogenéônio y''-a y'+y=0 são:
Se a^2>4: yh = C1 e^a + raiza^2 - 42t + C2 e^a - raiza^2 - 42t,
Se a^2=4: yh = (C1 + C2 t)e^a2t,
Se a^2<4: yh = e^a2tl(C1 cosl(tfracraiz4-a^22tr) + C2 sinl(tfracraiz4-a^22tr)r)

Exercícios relacionados