Encontre uma solução particular da equação y^prime prime-a y^prime+y=t e^t + b.

Passo 1

A equação dada é y'' - a y' + y = t e^t + b. Trata-se de uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, tratando separadamente o termo t e^t e o termo constante b.

Passo 2

Para o termo constante b, proponho o ansatz yc = C. Como yc'=0 e yc''=0, ao substituir na EDO obtemos C = b.

Passo 3

Para o termo t e^t, primeiro considere a neq 2 (não há ressonância em r=1). Proponho y1 = (At + B)e^t. Calculando
y1' = (At + (A+B))e^t e y1'' = (At + (2A+B))e^t, substituo em y'' - a y' + y e encontro
L[y1] = [(2 - a)A,t + (2 - a)(A + B)]e^t.
Igualando a t e^t gera o sistema
(2 - a)A = 1 e (2 - a)(A + B) = 0, de onde
A = 1/(2 - a) e B = -1/(2 - a).

Passo 4

Combinando com C = b, a solução particular para a neq 2 é
yp = dfract-12 - ae^t + b.

Passo 5

No caso a = 2 há ressonância dupla em r = 1, então para t e^t multiplicamos o ansatz por t^2. Proponho y2 = (At^3 + Bt^2)e^t. Calculando L[y2] = (6A t + 2B)e^t e igualando a t e^t
6A = 1, 2B = 0, isto é A = 1/6, B = 0. Somando o termo constante b resulta
yp = dfract^36e^t + b.

Resposta

Para a neq 2: yp = dfract - 12 - ae^t + b e para a = 2: yp = dfract^36e^t + b.

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