Encontre a solução geral para a equação para
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial, para
:
Informações dadas:
- A equação é válida para
. - Queremos a solução geral
(isto é, todas as soluções lineares independentes combinadas com constantes arbitrárias). - Não há condições iniciais; só a solução geral é solicitada.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): quando a equação tem coeficientes que são potências de
(como
,
, constante), é muito eficaz testar soluções do tipo
, com
constante. Isso porque derivadas de
mantêm a forma
, permitindo transformar a EDO numa equação algébrica para
. Como a equação foi dada para
,
está bem definida (sem problemas de sinal ou ramo).
Passo 3
Proponho a solução teste
onde
é um número real (a encontrar). Agora calculamos as deriva-das necessárias para substituir na equação.
Passo 4
Derivadas de
:
Expliquei: para
, a primeira derivada multiplica por
e reduz o expoente em 1; a segunda derivada aplica a regra novamente, produzindo
e expoente
.
Passo 5
Substituímos as derivadas na equação original:
Factorizando
(e lembrando que
para
), obtemos:
Passo 6
Como
para
, o coeficiente entre parênteses deve ser zero. Assim chegamos à equação característica para
:
Desenvolvendo,
Passo 7
Resolvemos a quadrática
. Calculamos o discriminante:
Logo as raízes são
Portanto
Passo 8
Conclusão sobre as soluções básicas: para cada raiz distinta
e
da equação característica, as funções
e
são soluções independentes da EDO de Euler–Cauchy. Como aqui
e
são diferentes, a solução geral é a combinação linear
onde
e
são constantes arbitrárias (reais).
Passo 9
Verificação rápida: se você quiser checar uma das soluções, por exemplo
, computando
,
e substituindo na EDO temos
. Funciona. Mesma verificação funciona para
. As duas são linearmente independentes, então a combinação acima é a solução geral.