Encontre a solução geral para a equação para t>0
t^{2} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 t \frac{d y}{d t}-6 y=0
Escolha uma opção:
\bigcirc a. c_{1} t^{3}+c_{2} t^{2}
\bigcirc b. \quad c_{1} t \cos [2 \ln (t)]+c_{2} t \sin [2 \ln (t)]
\bigcirc c. c_{1} t^{-1}+c_{2} t^{-4}
\bigcirc d. c_{1} t^{-1 / 3}+c_{2} t^{-1 / 3} \ln t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial, para t>0:
t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + 2t\frac{dy}{dt} - 6y = 0.
Informações dadas:
  • A equação é válida para t>0.
  • Queremos a solução geral y(t) (isto é, todas as soluções lineares independentes combinadas com constantes arbitrárias).
  • Não há condições iniciais; só a solução geral é solicitada.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): quando a equação tem coeficientes que são potências de t (como t^{2}, t, constante), é muito eficaz testar soluções do tipo y(t)=t^{r}, com r constante. Isso porque derivadas de t^{r} mantêm a forma t^{\text{algo}}, permitindo transformar a EDO numa equação algébrica para r. Como a equação foi dada para t>0, t^{r} está bem definida (sem problemas de sinal ou ramo).

Passo 3

Proponho a solução teste
y(t)=t^{r},
onde r é um número real (a encontrar). Agora calculamos as deriva-das necessárias para substituir na equação.

Passo 4

Derivadas de y(t)=t^{r}:
\frac{dy}{dt} = r t^{r-1},
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} = r(r-1) t^{r-2}.
Expliquei: para t^{r}, a primeira derivada multiplica por r e reduz o expoente em 1; a segunda derivada aplica a regra novamente, produzindo r(r-1) e expoente r-2.

Passo 5

Substituímos as derivadas na equação original:
t^{2}\big(r(r-1)t^{r-2}\big) + 2t\big(r t^{r-1}\big) - 6 t^{r} = 0.
Factorizando t^{r} (e lembrando que t^{r}\neq 0 para t>0), obtemos:
\big(r(r-1) + 2r - 6\big) t^{r} = 0.

Passo 6

Como t^{r}\neq 0 para t>0, o coeficiente entre parênteses deve ser zero. Assim chegamos à equação característica para r:
r(r-1) + 2r - 6 = 0.
Desenvolvendo,
r^{2} + r - 6 = 0.

Passo 7

Resolvemos a quadrática \;r^{2}+r-6=0\;. Calculamos o discriminante:
\Delta = 1^{2} - 4\cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.
Logo as raízes são
r = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}.
Portanto
r_{1} = 2,\qquad r_{2} = -3.

Passo 8

Conclusão sobre as soluções básicas: para cada raiz distinta r_{1} e r_{2} da equação característica, as funções t^{r_{1}} e t^{r_{2}} são soluções independentes da EDO de Euler–Cauchy. Como aqui r_{1}=2 e r_{2}=-3 são diferentes, a solução geral é a combinação linear
y(t) = c_{1} t^{2} + c_{2} t^{-3},
onde c_{1} e c_{2} são constantes arbitrárias (reais).

Passo 9

Verificação rápida: se você quiser checar uma das soluções, por exemplo y=t^{2}, computando y'=2t, y''=2 e substituindo na EDO temos t^{2}\cdot 2 + 2t\cdot 2t -6 t^{2} = 2t^{2} +4t^{2} -6t^{2}=0. Funciona. Mesma verificação funciona para t^{-3}. As duas são linearmente independentes, então a combinação acima é a solução geral.

Resposta

y(t)=c_{1}t^{2}+c_{2}t^{-3}

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