Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial de terceira ordem. Vou listar com clareza o que é pedido e o que foi fornecido:
- Equação diferencial (peguei do enunciado):
- Condições iniciais (peguei do enunciado):
O que o problema pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as três condições iniciais.
Observação imediata (sem resolver ainda): no lado direito há termos exponenciais que podem ser combinados. Não resolvo nada aqui, só anotei isso para usar nas próximas etapas.
Passo 2
Simplifico o lado direito (peguei essa expressão do enunciado):
Então a EDO fica
Agora planejo o método (breve explicação didática): por ser uma EDO linear com coeficientes constantes, o procedimento clássico é:
- Resolver a equação homogênea associada para obter
. - Encontrar uma solução particular
da EDO não-homogênea (usar método dos coeficientes a determinar, apropriado quando o termo for combinação de polinômios, exponenciais, senos/cossenos). - Somar
e usar as condições iniciais para determinar constantes.
Vou executar esses passos detalhadamente.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada (aqui ensino como): escrevemos a homogênea
Para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos o polinômio característico:
Fatorando:
Logo as raízes são
(simples) e
(raiz dupla). Regra prática: para raiz
de multiplicidade
as soluções correspondentes são
até
.
Assim a solução geral da homogênea é
ou seja
onde
são constantes.
Passo 4
Escolher a forma do particular pelo método dos coeficientes a determinar (explicação didática):
- Para o termo constante
podemos tentar um polinômio constante . Mas atenção: se for raiz do polinômio característico (o que aqui ocorre), então já está na solução homogênea. Quando isso acontece, multiplicamos a tentativa por , onde é a multiplicidade da raiz . Aqui tem multiplicidade , então multiplicamos por . Portanto para a parte constante devemos tentar uma função da forma . - Para o termo
: normalmente tentaríamos , porém é raiz dupla do característico (multiplicidade ), então devemos multiplicar por . Assim para a parte exponencial tentamos .
Portanto proponho a solução particular da forma
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 5
Calcular as derivadas de
passo a passo (para usar na equação). Primeiro calcule as derivadas de
(fácil com regra do produto):
- Defino
.
Agora as derivadas de
:
Passo 6
Substituir
na equação diferencial e comparar termos.
A parte da equação linear é
. Então
Agrupo termos em constantes e em
. Para os termos com
fatoro
e somo os polinômios:
Calculo essa soma:
Portanto a parte exponencial dá
.
A parte não exponencial fica apenas
(vinda de
). Assim
Queremos que isso seja igual ao termo da equação original, que simplificamos para
. Igualando coeficientes:
- Para a parte constante:
. - Para a parte exponencial:
portanto .
Logo encontramos
e
. Assim
Passo 7
Formo a solução geral como soma da homogênea com a particular:
Agora uso as condições iniciais para determinar
. Para isso preciso de
e
. Vou calcular de forma organizada.
Passo 8
Calcular
e
a partir da expressão geral (faço passo a passo e explico cada termo):
Escrevendo os termos exponenciais agrupados:
.
Primeira derivada:
Usando regra do produto:
Agrupando:
(esta forma facilita a avaliação em
).
Segunda derivada (derivando
; novamente produto: derivative of
é
):
Defino . Então
Defino
Calculo
(derivando termo a termo).
Assim
Assim
Agora avalio em
para aplicar as condições iniciais.
Passo 9
Avaliação em
e solução do sistema linear:
- Avaliando
:
Pela condição
:
- Avaliando
:
No passo anterior vimos
Em
:
Pela condição
:
- Avaliando
:
Calculamos. Em temos e
Logo
Pela condição
:
Agora resolvo o sistema linear em
. Das equações (1) e (2) retiro
e
. Substituo
em (3):
Calculo:
Então
E
Portanto
.
Passo 10
Escrevo a solução final substituindo as constantes encontradas na expressão de
:
Se desejar, pode-se reunir os termos exponenciais: