Resolva o seguinte problema de valor inicial: (2,0)
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}=2-24 e^{x}+40 e^{x} \\\ y(0)=\frac{1}{2}, \quad y^{\prime}(0)=\frac{5}{2}, \quad y_{(0)}^{\prime \prime}=-\frac{9}{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial de terceira ordem. Vou listar com clareza o que é pedido e o que foi fornecido:
  • Equação diferencial (peguei do enunciado):
y^{\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime}+y^{\prime}=2-24e^{x}+40e^{x}.
  • Condições iniciais (peguei do enunciado):
y(0)=\frac{1}{2},\qquad y^{\prime}(0)=\frac{5}{2},\qquad y^{\prime\prime}(0)=-\frac{9}{2}.
O que o problema pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as três condições iniciais.
Observação imediata (sem resolver ainda): no lado direito há termos exponenciais que podem ser combinados. Não resolvo nada aqui, só anotei isso para usar nas próximas etapas.

Passo 2

Simplifico o lado direito (peguei essa expressão do enunciado):
2-24e^{x}+40e^{x}=2+( -24+40)e^{x}=2+16e^{x}.
Então a EDO fica
y^{\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime}+y^{\prime}=2+16e^{x}.
Agora planejo o método (breve explicação didática): por ser uma EDO linear com coeficientes constantes, o procedimento clássico é:
  1. Resolver a equação homogênea associada para obter y_h.
  2. Encontrar uma solução particular y_p da EDO não-homogênea (usar método dos coeficientes a determinar, apropriado quando o termo for combinação de polinômios, exponenciais, senos/cossenos).
  3. Somar y=y_h+y_p e usar as condições iniciais para determinar constantes.
Vou executar esses passos detalhadamente.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada (aqui ensino como): escrevemos a homogênea
y^{\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime}+y^{\prime}=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos o polinômio característico:
r^{3}-2r^{2}+r=0.
Fatorando:
r(r^{2}-2r+1)=0,\qquad r(r-1)^{2}=0.
Logo as raízes são r=0 (simples) e r=1 (raiz dupla). Regra prática: para raiz r de multiplicidade m as soluções correspondentes são e^{rx},\; x e^{rx},\; x^{2}e^{rx},\dots até x^{m-1}e^{rx}.
Assim a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}\cdot 1 + C_{2}e^{x}+C_{3}x e^{x},
ou seja
y_{h}=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}x e^{x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes.

Passo 4

Escolher a forma do particular pelo método dos coeficientes a determinar (explicação didática):
  • Para o termo constante 2 podemos tentar um polinômio constante A. Mas atenção: se r=0 for raiz do polinômio característico (o que aqui ocorre), então e^{0x}=1 já está na solução homogênea. Quando isso acontece, multiplicamos a tentativa por x^{m}, onde m é a multiplicidade da raiz r=0. Aqui r=0 tem multiplicidade 1, então multiplicamos por x. Portanto para a parte constante devemos tentar uma função da forma M x.
  • Para o termo 16e^{x}: normalmente tentaríamos K e^{x}, porém r=1 é raiz dupla do característico (multiplicidade 2), então devemos multiplicar por x^{2}. Assim para a parte exponencial tentamos K x^{2} e^{x}.
Portanto proponho a solução particular da forma
y_{p}=M x + K x^{2} e^{x},
onde M e K são constantes a determinar.

Passo 5

Calcular as derivadas de y_{p} passo a passo (para usar na equação). Primeiro calcule as derivadas de x^{2}e^{x} (fácil com regra do produto):
  • Defino u(x)=x^{2}e^{x}.
u'(x)=e^{x}(x^{2}+2x).
u''(x)=e^{x}(x^{2}+4x+2).
u^{(3)}(x)=e^{x}(x^{2}+6x+6).
Agora as derivadas de y_{p}=M x + K u(x):
y_{p}'=M + K e^{x}(x^{2}+2x),
y_{p}''=0 + K e^{x}(x^{2}+4x+2),
y_{p}^{(3)}=0 + K e^{x}(x^{2}+6x+6).

Passo 6

Substituir y_{p},y_{p}',y_{p}'' ,y_{p}^{(3)} na equação diferencial e comparar termos.
A parte da equação linear é L[y]=y^{(3)}-2y''+y'. Então
L[y_{p}]=\bigl(K e^{x}(x^{2}+6x+6)\bigr)-2\bigl(K e^{x}(x^{2}+4x+2)\bigr)+\bigl(M+K e^{x}(x^{2}+2x)\bigr).
Agrupo termos em constantes e em e^{x}. Para os termos com e^{x} fatoro K e^{x} e somo os polinômios:
(x^{2}+6x+6)-2(x^{2}+4x+2)+(x^{2}+2x).
Calculo essa soma:
x^{2}+6x+6-2x^{2}-8x-4+x^{2}+2x = (x^{2}-2x^{2}+x^{2})+(6x-8x+2x)+(6-4)=0+0+2=2.
Portanto a parte exponencial dá K e^{x}\cdot 2 = 2K e^{x}.
A parte não exponencial fica apenas M (vinda de y_{p}'). Assim
L[y_{p}]=M + 2K e^{x}.
Queremos que isso seja igual ao termo da equação original, que simplificamos para 2+16e^{x}. Igualando coeficientes:
  • Para a parte constante: M=2.
  • Para a parte exponencial: 2K=16 portanto K=8.
Logo encontramos M=2 e K=8. Assim
y_{p}=2x + 8x^{2}e^{x}.

Passo 7

Formo a solução geral como soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}+y_{p}=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}x e^{x}+2x+8x^{2}e^{x}.
Agora uso as condições iniciais para determinar C_{1},C_{2},C_{3}. Para isso preciso de y'(x) e y''(x). Vou calcular de forma organizada.

Passo 8

Calcular y'(x) e y''(x) a partir da expressão geral (faço passo a passo e explico cada termo):
Escrevendo os termos exponenciais agrupados: e^{x}\bigl(C_{2}+C_{3}x+8x^{2}\bigr).
Primeira derivada:
y'(x)=0 + \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}(C_{2}+C_{3}x+8x^{2})\bigr) + 2.
Usando regra do produto:
y'(x)=e^{x}(C_{2}+C_{3}x+8x^{2}) + e^{x}(C_{3}+16x) + 2.
Agrupando:
y'(x)=e^{x}\bigl(C_{2}+C_{3}(1+x)+8(x^{2}+2x)\bigr)+2.
(esta forma facilita a avaliação em x=0).
Segunda derivada (derivando y'; novamente produto: derivative of e^{x}S(x) é e^{x}S + e^{x}S'):
Defino S(x)=C_{2}+C_{3}(1+x)+8(x^{2}+2x). Então
y''(x)=e^{x}S(x)+e^{x}S'(x).
Calculo S'(x)=C_{3}+16x+16 (derivando termo a termo).
Assim
y''(x)=e^{x}\bigl(S(x)+S'(x)\bigr).
Agora avalio em x=0 para aplicar as condições iniciais.

Passo 9

Avaliação em x=0 e solução do sistema linear:
  • Avaliando y(0):
y(0)=C_{1}+C_{2}\cdot e^{0}+C_{3}\cdot 0\cdot e^{0}+2\cdot 0+8\cdot 0^{2} e^{0}=C_{1}+C_{2}.
Pela condição y(0)=\dfrac{1}{2}:
C_{1}+C_{2}=\frac{1}{2}. \qquad (1)
  • Avaliando y'(0):
    No passo anterior vimos
y'(x)=e^{x}\bigl(C_{2}+C_{3}(1+x)+8(x^{2}+2x)\bigr)+2.
Em x=0:
y'(0)=C_{2}+C_{3}+2.
Pela condição y'(0)=\dfrac{5}{2}:
C_{2}+C_{3}+2=\frac{5}{2}\quad\Rightarrow\quad C_{2}+C_{3}=\frac{1}{2}. \qquad (2)
  • Avaliando y''(0):
    Calculamos y''(x)=e^{x}\bigl(S(x)+S'(x)\bigr). Em x=0 temos e^{0}=1 e
S(0)=C_{2}+C_{3}+0,\qquad S'(0)=C_{3}+16\cdot 0+16=C_{3}+16.
Logo
y''(0)=S(0)+S'(0)=\bigl(C_{2}+C_{3}\bigr)+\bigl(C_{3}+16\bigr)=C_{2}+2C_{3}+16.
Pela condição y''(0)=-\dfrac{9}{2}:
C_{2}+2C_{3}+16=-\frac{9}{2}\quad\Rightarrow\quad C_{2}+2C_{3}=-\frac{41}{2}. \qquad (3)
Agora resolvo o sistema linear em C_{1},C_{2},C_{3}. Das equações (1) e (2) retiro C_{1}= \tfrac{1}{2}-C_{2} e C_{3}=\tfrac{1}{2}-C_{2}. Substituo C_{3} em (3):
C_{2}+2\left(\frac{1}{2}-C_{2}\right)=-\frac{41}{2}.
Calculo:
C_{2}+1-2C_{2}=-\frac{41}{2}\quad\Rightarrow\quad -C_{2}+1=-\frac{41}{2}.
-C_{2}=-\frac{41}{2}-1=-\frac{43}{2}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=\frac{43}{2}.
Então
C_{3}=\frac{1}{2}-C_{2}=\frac{1}{2}-\frac{43}{2}=-\frac{42}{2}=-21.
E
C_{1}=\frac{1}{2}-C_{2}=\frac{1}{2}-\frac{43}{2}=-21.
Portanto C_{1}=-21,\;C_{2}=\dfrac{43}{2},\;C_{3}=-21.

Passo 10

Escrevo a solução final substituindo as constantes encontradas na expressão de y(x):
y(x)=-21+\frac{43}{2}e^{x}-21x e^{x}+2x+8x^{2}e^{x}.
Se desejar, pode-se reunir os termos exponenciais:
y(x)=-21+2x+e^{x}\left(\frac{43}{2}-21x+8x^{2}\right).

Resposta

y(x)=-21+2x+e^{x}\left(\frac{43}{2}-21x+8x^{2}\right).

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