Para
e
, determine o conjunto-solução da equação
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto-solução da equação, sabendo que
e
. Lista das informações dadas e do que é pedido:
- Equação a resolver para
:
- Condições sobre os parâmetros:
e . - Domínio natural dos logaritmos: precisamos de
.
O objetivo é encontrar todos osque satisfazem a equação, em termos de e .
Passo 2
Vamos simplificar a equação usando uma substituição prática. Defina
Explico as relações que vamos usar (fórmula de mudança de base): para quaisquer bases positivas diferentes de 1 vale
. Usando isso obtemos expressões de cada logaritmo em função de
:
- Para
:
(derivação:
.)
- Para
:
-
é exatamente . - Note:
e são constantes (dependem apenas de e ), e não são zero porque e .
Passo 3
Substituindo essas expressões na equação original:
fica
Simplificando termos:
Colocando tudo num lado e fatorando
:
Passo 4
Da fatoração obtemos duas possibilidades:
-
. -
.
Trate a primeira:
significa
, portanto
Logo
é sempre solução (e satisfaz
).
Passo 5
Agora resolvemos a segunda possibilidade. Reescrevendo:
Use a identidade
(inversão de base) e propriedades dos logaritmos para simplificar o lado direito:
-
. -
.
Então
Usando a propriedade de soma de logaritmos
obtemos
Portanto a equação para
fica
ou seja
Voltando para
(lembrando que
), temos
Passo 6
Assim as soluções obtidas são
e
. Ambas são positivas, portanto válidas no domínio
. Observação: se ocorrer o caso especial
(ou seja
), então
e as duas soluções coincidem, ficando apenas
. Mas para valores gerais de
(com
) as duas soluções distintas são as indicadas.