Para a>0, a \neq 1 e b>0, b \neq 1, determine o conjunto-solução da equação
\frac{\log _{3} x}{\left(\log _{3} a\right)^{2}}-\frac{2 \log _{a} x}{\log _{1 / b} a}=2 \log _{\sqrt{a}} x \log _{a} x .
(a) S=\{1, \sqrt[4]{3}\}
(b) S=\left\{1, \sqrt[4]{3 b^{2}}\right\}
(c) S=\left\{\sqrt[4]{b^{2}}\right\}
(d) S=\{1\}
(e) S=\{1,3\}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto-solução da equação, sabendo que a>0,\\ a\neq1 e b>0,\\ b\neq1. Lista das informações dadas e do que é pedido:
  • Equação a resolver para x:
\frac{\log_{3} x}{\left(\log_{3} a\right)^{2}}-\frac{2 \log_{a} x}{\log_{1 / b} a}=2 \log_{\sqrt{a}} x \log_{a} x .
  • Condições sobre os parâmetros: a>0,\\ a\neq1 e b>0,\\ b\neq1.
  • Domínio natural dos logaritmos: precisamos de x>0.
    O objetivo é encontrar todos os x>0 que satisfazem a equação, em termos de a e b.

Passo 2

Vamos simplificar a equação usando uma substituição prática. Defina
y=\log_{a} x.
Explico as relações que vamos usar (fórmula de mudança de base): para quaisquer bases positivas diferentes de 1 vale \log_{c} d=\dfrac{\ln d}{\ln c}. Usando isso obtemos expressões de cada logaritmo em função de y:
  • Para \log_{3} x:
\log_{3} x=\log_{3} a\cdot\log_{a} x=\log_{3} a\cdot y.
(derivação: \log_{3} x=\dfrac{\ln x}{\ln 3}=\dfrac{\ln a}{\ln 3}\cdot\dfrac{\ln x}{\ln a}=\log_{3} a\cdot\log_{a} x.)
  • Para \log_{\sqrt{a}} x:
\log_{\sqrt{a}} x=\frac{\ln x}{\ln(\sqrt{a})}=\frac{\ln x}{\tfrac{1}{2}\ln a}=2\frac{\ln x}{\ln a}=2y.
  • \log_{a} x é exatamente y.
  • Note: \log_{3} a e \log_{1/b} a são constantes (dependem apenas de a e b), e não são zero porque a\neq1 e b\neq1.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original:
\frac{\log_{3} x}{\left(\log_{3} a\right)^{2}}-\frac{2 \log_{a} x}{\log_{1 / b} a}=2 \log_{\sqrt{a}} x \log_{a} x
fica
\frac{\log_{3} a\cdot y}{\left(\log_{3} a\right)^{2}}-\frac{2y}{\log_{1 / b} a}=2\cdot(2y)\cdot y.
Simplificando termos:
\frac{y}{\log_{3} a}-\frac{2y}{\log_{1 / b} a}=4y^{2}.
Colocando tudo num lado e fatorando y:
y\left(\frac{1}{\log_{3} a}-\frac{2}{\log_{1 / b} a}-4y\right)=0.

Passo 4

Da fatoração obtemos duas possibilidades:
  1. y=0.
  2. \dfrac{1}{\log_{3} a}-\dfrac{2}{\log_{1 / b} a}-4y=0.
Trate a primeira: y=0 significa \log_{a} x=0, portanto
x=1.
Logo x=1 é sempre solução (e satisfaz x>0).

Passo 5

Agora resolvemos a segunda possibilidade. Reescrevendo:
4y=\frac{1}{\log_{3} a}-\frac{2}{\log_{1 / b} a}.
Use a identidade \dfrac{1}{\log_{u} v}=\log_{v} u (inversão de base) e propriedades dos logaritmos para simplificar o lado direito:
  • \dfrac{1}{\log_{3} a}=\log_{a} 3.
  • \dfrac{1}{\log_{1 / b} a}=\log_{a}\left(\frac{1}{b}\right)=-\log_{a} b.
    Então
\frac{1}{\log_{3} a}-\frac{2}{\log_{1 / b} a}=\log_{a} 3-2\big(-\log_{a} b\big)=\log_{a} 3+2\log_{a} b.
Usando a propriedade de soma de logaritmos \log_{a} u+\log_{a} v=\log_{a}(uv) obtemos
\log_{a} 3+2\log_{a} b=\log_{a} 3+\log_{a} b^{2}=\log_{a}(3b^{2}).
Portanto a equação para y fica
4y=\log_{a}(3b^{2}),
ou seja
y=\frac{1}{4}\log_{a}(3b^{2})=\log_{a}\!\left(\sqrt[4]{3b^{2}}\right).
Voltando para x (lembrando que x=a^{y}), temos
x=a^{\log_{a}\!\left(\sqrt[4]{3b^{2}}\right)}=\sqrt[4]{3b^{2}}.

Passo 6

Assim as soluções obtidas são x=1 e x=\sqrt[4]{3b^{2}}. Ambas são positivas, portanto válidas no domínio x>0. Observação: se ocorrer o caso especial 3b^{2}=1 (ou seja b=1/\sqrt{3}), então \sqrt[4]{3b^{2}}=1 e as duas soluções coincidem, ficando apenas x=1. Mas para valores gerais de b (com b>0,\\ b\neq1) as duas soluções distintas são as indicadas.

Resposta

S=\{1,\\ \sqrt[4]{3b^{2}}\}

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