Encontre a solução geral da equação:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial dada. As informações que temos são:
- A equação é
- A incógnita é a função
. - Observação imediata: a equação contém
, portanto é necessário no domínio das soluções.
Não se resolve nada aqui — apenas identifiquei claramente o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Vamos comparar a equação com uma forma conhecida que nos ajuda a escolher um método. Uma equação de Bernoulli tem a forma
onde
,
são funções conhecidas e
é um número. Na nossa equação temos:
Quando
a técnica padrão é a substituição
Aqui
, então escolhemos
Vou explicar por que essa substituição ajuda: ela transforma a equação não-linear em uma equação linear de primeira ordem para
. Agora vamos relacionar
com
.
Passo 3
Calcule a derivada de
em função de
e
. Usando
:
Isto nos dá
Agora substituímos
e também usamos
quando aparecerem potências de
na equação original. Substituindo em
obtemos:
Dividindo tudo por
(supondo
; trataremos
depois) dá
Como
, isso simplifica para
Passo 4
Multiplicando por
para colocar em forma padrão temos a equação linear para
:
Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
Aqui
e
. O método do fator integrante pede calcular
Para não carregar valor absoluto nas contas, vamos trabalhar em um intervalo onde
(o cálculo para
é análogo, mudando sinais via valor absoluto). Assim escolhemos
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
Portanto a equação vira
Passo 5
Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração. Assim
Lembrando que
, temos
Invertendo,
Podemos reescrever de forma factorada:
Passo 6
Verificações e observações finais (úteis para a prova):
- A constante
é arbitrária e determina a família de soluções. - Domínio: como já notado,
e também é preciso que , ou seja e . Em cada intervalo onde não cruza essas singularidades a solução é válida. - Solução singular: a função
satisfaz a equação original (substituindo obtemos ). Essa solução não aparece na forma (porque aí never ); portanto mencionar como solução trivial é importante.