Encontre a solução geral da equação:
y^{\prime}+1 y / x=x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial dada. As informações que temos são:
  • A equação é y'+\frac{1}{x}y = x y^{2}.
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • Observação imediata: a equação contém \frac{1}{x}, portanto x\neq 0 é necessário no domínio das soluções.
    Não se resolve nada aqui — apenas identifiquei claramente o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Vamos comparar a equação com uma forma conhecida que nos ajuda a escolher um método. Uma equação de Bernoulli tem a forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
onde P(x), Q(x) são funções conhecidas e n é um número. Na nossa equação temos:
P(x)=\frac{1}{x},\qquad Q(x)=x,\qquad n=2.
Quando n\neq 0,1 a técnica padrão é a substituição
u = y^{1-n}.
Aqui n=2, então escolhemos
u = y^{1-2} = y^{-1}=\frac{1}{y}.
Vou explicar por que essa substituição ajuda: ela transforma a equação não-linear em uma equação linear de primeira ordem para u(x). Agora vamos relacionar u' com y'.

Passo 3

Calcule a derivada de u em função de y e y'. Usando u = y^{-1}:
u' = -1\cdot y^{-2}\,y' = -\frac{y'}{y^{2}}.
Isto nos dá
y' = -y^{2}\,u'.
Agora substituímos y' e também usamos y^{-1}=u quando aparecerem potências de y na equação original. Substituindo em y'+\frac{1}{x}y = x y^{2} obtemos:
- y^{2}u' + \frac{1}{x}y = x y^{2}.
Dividindo tudo por y^{2} (supondo y\neq 0; trataremos y\equiv 0 depois) dá
- u' + \frac{1}{x}\cdot\frac{y}{y^{2}} = x.
Como \frac{y}{y^{2}}=\frac{1}{y}=u, isso simplifica para
- u' + \frac{u}{x} = x.

Passo 4

Multiplicando por -1 para colocar em forma padrão temos a equação linear para u:
u' - \frac{1}{x}u = -x.
Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
u' + p(x)u = g(x).
Aqui p(x)=-\dfrac{1}{x} e g(x)=-x. O método do fator integrante pede calcular
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(-\ln|x|)=\frac{1}{|x|}.
Para não carregar valor absoluto nas contas, vamos trabalhar em um intervalo onde x>0 (o cálculo para x<0 é análogo, mudando sinais via valor absoluto). Assim escolhemos
\mu(x)=\frac{1}{x}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\frac{1}{x}u' - \frac{1}{x^{2}}u = -1.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \dfrac{u}{x}, porque
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{x}\right)=\frac{1}{x}u' - \frac{1}{x^{2}}u.
Portanto a equação vira
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{x}\right) = -1.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
\frac{u}{x} = \int -1\,dx = -x + C,
onde C é a constante de integração. Assim
u = Cx - x^{2}.
Lembrando que u=\dfrac{1}{y}, temos
\frac{1}{y} = Cx - x^{2}.
Invertendo,
y(x) = \frac{1}{C x - x^{2}}.
Podemos reescrever de forma factorada:
y(x)=\frac{1}{x(C - x)}.

Passo 6

Verificações e observações finais (úteis para a prova):
  • A constante C é arbitrária e determina a família de soluções.
  • Domínio: como já notado, x\neq 0 e também é preciso que C x - x^{2}\neq 0, ou seja x\neq 0 e x\neq C. Em cada intervalo onde x não cruza essas singularidades a solução é válida.
  • Solução singular: a função y\equiv 0 satisfaz a equação original (substituindo y=0 obtemos 0+0=0). Essa solução não aparece na forma 1/(Cx-x^{2}) (porque aí y never 0); portanto mencionar y\equiv 0 como solução trivial é importante.

Resposta

y(x)=\frac{1}{C x - x^{2}},\qquad C\in\mathbb{R},
y(x)\equiv 0.

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