Considere as funções f(x)=\frac{x}{x+3} e g(x)=\frac{3 x-3}{x}.
a) Encontre g(f(-2)) e (f \circ g)(3),
b) Encontre (f \circ g)(x),(g \circ f)(x) e seus domínios.

Passo 1

O enunciado dá as duas funções
f(x)=\frac{x}{x+3},\qquad g(x)=\frac{3x-3}{x},
e pede:
  • (a) calcular g(f(-2)) e (f\circ g)(3);
  • (b) encontrar as fórmulas de (f\circ g)(x) e (g\circ f)(x) e determinar os domínios de cada composição.
Informações relevantes que já temos (retiradas diretamente do enunciado):
  • A função f tem denominador x+3, portanto x\neq -3 é excluído do domínio de f.
  • A função g tem denominador x, portanto x\neq 0 é excluído do domínio de g.
Vou usar a definição de composição: (f\circ g)(x)=f(g(x)), ou seja, primeiro avalia-se a função de dentro (a chamada função “interna”) e depois a de fora; além disso, para que f(g(x)) esteja definida é preciso que x pertença ao domínio de g e que g(x) pertença ao domínio de f. O mesmo raciocínio vale para g(f(x)).

Passo 2

Calcular g(f(-2)).
Primeiro avalio f(-2). Como -2\neq -3, f(-2) está definida:
f(-2)=\frac{-2}{-2+3}=\frac{-2}{1}=-2.
Agora aplico g em -2. Como -2\neq 0, g(-2) está definida:
g(-2)=\frac{3(-2)-3}{-2}=\frac{-6-3}{-2}=\frac{-9}{-2}=\frac{9}{2}.
Portanto g(f(-2))=\dfrac{9}{2}.

Passo 3

Calcular (f\circ g)(3)=f(g(3)).
Primeiro avalio g(3). Como 3\neq 0, g(3) está definida:
g(3)=\frac{3\cdot 3-3}{3}=\frac{9-3}{3}=\frac{6}{3}=2.
Agora aplico f em 2. Como 2\neq -3, f(2) está definida:
f(2)=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}.
Portanto (f\circ g)(3)=\dfrac{2}{5}.

Passo 4

Encontrar a expressão geral de (g\circ f)(x)=g(f(x)) e seu domínio, com explicação didática.
Definição e cuidado com domínio: para g(f(x)) ser definida é preciso que x pertença ao domínio de f (isto é, x\neq -3) e que o valor f(x) pertença ao domínio de g (isto é, f(x)\neq 0, porque g tem denominador igual à sua entrada).
Calculo algébrico:
g(f(x))=\frac{3\,f(x)-3}{f(x)}
Substituindo f(x)=\dfrac{x}{x+3}:
g(f(x))=\frac{3\cdot\frac{x}{x+3}-3}{\frac{x}{x+3}}.
Faço a conta no numerador (colocando sobre o mesmo denominador x+3):
3\cdot\frac{x}{x+3}-3=\frac{3x}{x+3}-\frac{3(x+3)}{x+3}=\frac{3x-3x-9}{x+3}=\frac{-9}{x+3}.
Agora divido pela fração \dfrac{x}{x+3}:
g(f(x))=\frac{\,-9/(x+3)\,}{\,x/(x+3)\,}=\left(\frac{-9}{x+3}\right)\cdot\left(\frac{x+3}{x}\right)=-\frac{9}{x}.
Portanto, algebricamente,
(g\circ f)(x)=-\frac{9}{x}.
Domínio: como comentado, é preciso que
  • x\neq -3 (domínio de f);
  • f(x)\neq 0 (para não zerar o denominador de g). Resolver f(x)=0:
\frac{x}{x+3}=0\quad\Longrightarrow\quad x=0.
Logo x=0 deve ser excluído. Observação: na expressão final -9/x aparece somente x no denominador, o que também exige x\neq 0; o valor x=-3 não aparece explicitamente após simplificação, mas continua proibido porque a composição original exige x no domínio de f. Portanto o domínio de g\circ f é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -3,\; x\neq 0\}.

Passo 5

Encontrar a expressão geral de (f\circ g)(x)=f(g(x)) e seu domínio, com explicação didática.
Definição e cuidado com domínio: para f(g(x)) ser definida é preciso que x pertença ao domínio de g (isto é, x\neq 0) e que g(x) pertença ao domínio de f (isto é, g(x)\neq -3, porque f tem denominador t+3 quando a entrada é t).
Calculo algébrico:
f(g(x))=\frac{g(x)}{g(x)+3}=\frac{\dfrac{3x-3}{x}}{\dfrac{3x-3}{x}+3}.
Coloco a soma do denominador sobre o mesmo denominador x:
\dfrac{3x-3}{x}+3=\frac{3x-3+3x}{x}=\frac{6x-3}{x}=\frac{3(2x-1)}{x}.
Agora a divisão:
f(g(x))=\left(\frac{3x-3}{x}\right)\Big/\left(\frac{3(2x-1)}{x}\right)=\frac{3x-3}{x}\cdot\frac{x}{3(2x-1)}=\frac{3x-3}{3(2x-1)}.
Simplificando o fator 3:
f(g(x))=\frac{x-1}{2x-1}.
Domínio: deve-se excluir
  • x=0 (domínio de g);
  • valores de x tais que g(x)=-3. Resolver a equação
\frac{3x-3}{x}=-3.
Multiplicando por x (lembrando que aqui já estamos assumindo x\neq 0):
3x-3=-3x\quad\Longrightarrow\quad 6x=3\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{2}.
Portanto x=\tfrac{1}{2} deve ser excluído. Note que na expressão final \dfrac{x-1}{2x-1} o denominador exige 2x-1\neq 0, isto é, x\neq \tfrac{1}{2}, o que coincide com a condição acima. Assim o domínio de f\circ g é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0,\; x\neq \tfrac{1}{2}\}.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova para checar cálculos): substituir x=-2 na fórmula geral de g\circ f:
(g\circ f)(-2)=-\frac{9}{-2}=\frac{9}{2},
coincide com o resultado do Passo 2. Substituir x=3 na fórmula geral de f\circ g:
(f\circ g)(3)=\frac{3-1}{2\cdot 3-1}=\frac{2}{5},
coincide com o resultado do Passo 3. Boa sinal — resultados consistentes.

Resposta

g(f(-2))=\dfrac{9}{2}
(f\circ g)(3)=\dfrac{2}{5}
(f\circ g)(x)=\dfrac{x-1}{2x-1},\\ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0,\\ x\neq \tfrac{1}{2}\}
(g\circ f)(x)=-\dfrac{9}{x},\\ \operatorname{Dom}(g\circ f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0,\\ x\neq -3\}

Exercícios relacionados