Considere as funções
e
.
a) Encontre
e
,
b) Encontre
e seus domínios.
a) Encontre
b) Encontre
Passo 1
O enunciado dá as duas funções
e pede:
- (a) calcular
e ; - (b) encontrar as fórmulas de
e e determinar os domínios de cada composição.
Informações relevantes que já temos (retiradas diretamente do enunciado):
- A função
tem denominador , portanto é excluído do domínio de . - A função
tem denominador , portanto é excluído do domínio de .
Vou usar a definição de composição:
, ou seja, primeiro avalia-se a função de dentro (a chamada função “interna”) e depois a de fora; além disso, para que
esteja definida é preciso que
pertença ao domínio de
e que
pertença ao domínio de
. O mesmo raciocínio vale para
.
Passo 2
Calcular
.
Primeiro avalio
. Como
,
está definida:
Agora aplico
em
. Como
,
está definida:
Portanto
.
Passo 3
Calcular
.
Primeiro avalio
. Como
,
está definida:
Agora aplico
em
. Como
,
está definida:
Portanto
.
Passo 4
Encontrar a expressão geral de
e seu domínio, com explicação didática.
Definição e cuidado com domínio: para
ser definida é preciso que
pertença ao domínio de
(isto é,
) e que o valor
pertença ao domínio de
(isto é,
, porque
tem denominador igual à sua entrada).
Calculo algébrico:
Substituindo
:
Faço a conta no numerador (colocando sobre o mesmo denominador
):
Agora divido pela fração
:
Portanto, algebricamente,
Domínio: como comentado, é preciso que
-
(domínio de ); -
(para não zerar o denominador de ). Resolver :
Logo
deve ser excluído. Observação: na expressão final
aparece somente
no denominador, o que também exige
; o valor
não aparece explicitamente após simplificação, mas continua proibido porque a composição original exige
no domínio de
. Portanto o domínio de
é
Passo 5
Encontrar a expressão geral de
e seu domínio, com explicação didática.
Definição e cuidado com domínio: para
ser definida é preciso que
pertença ao domínio de
(isto é,
) e que
pertença ao domínio de
(isto é,
, porque
tem denominador
quando a entrada é
).
Calculo algébrico:
Coloco a soma do denominador sobre o mesmo denominador
:
Agora a divisão:
Simplificando o fator
:
Domínio: deve-se excluir
-
(domínio de ); - valores de
tais que . Resolver a equação
Multiplicando por
(lembrando que aqui já estamos assumindo
):
Portanto
deve ser excluído. Note que na expressão final
o denominador exige
, isto é,
, o que coincide com a condição acima. Assim o domínio de
é
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova para checar cálculos): substituir
na fórmula geral de
:
coincide com o resultado do Passo 2. Substituir
na fórmula geral de
:
coincide com o resultado do Passo 3. Boa sinal — resultados consistentes.