O café (Coffea sp.) é uma planta originária do continente Africano, das regiões altas da Etiópia (Cafa e Enária), podendo ser a região de Cafa responsável pela origem do nome café. É uma planta de sub-bosque, no qual o nome também é dado ao fruto, à semente, à bebida e aos estabelecimentos que a comercializam.
Da Etiópia, o café foi levado para a Arábia por mercadores, onde a planta e o produto foram grandemente difundidos.
Logo depois passou a ser consumido outros países europeus e posteriormente todo o continente. Com a colonização, o grão chegou às Américas e assim em todo mundo.
Após se difundir pela Europa, o café chegou em território brasileiro pelo estado do Pará. Em Belém do Pará, a cultura não foi muito difundida, foi levada para o Maranhão e Bahia, posteriormente chegou ao Rio de Janeiro, espalhando-se pela Serra do Mar e Vale do Paraíba. De São Paulo, foi para Minas Gerais, Espírito Santo e Paraná.
No Brasil, o desenvolvimento da cultura confunde-se com a própria história do País devido a sua grande importância econômica e social.
No Brasil, até a política se rendeu ao café, com a chamada “política do café com leite”, onde, os estados mais poderosos política e economicamente eram São Paulo e Minas Gerais.
Fonte: https://agropos.com.br/cafe-como-essa-cultura-ganhou-o-mundo/ e
Hoje, o café pode ser encontrado em todo o mundo, e tem presença marcada entre os estudantes de exatas, que não perdem a oportunidade de apreciar a bebida entre uma integral múltipla e outra.
Dentre as mais diversas formas de se servir o café, uma que merece destaque é servi-lo em um copo de vidro duplo. O copo de vidro duplo mantém a temperatura da bebida por mais tempo, o que ocorre porque o líquido fica em contato com o vidro interno. Além de ser elegante, dá a sensação de que a bebida está flutuando!
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Suponha que um copo de vidro duplo tem o formato da região limitada pelas superficies
\begin{gathered} z=2,14\left(-16+x^{2}+y^{2}\right) \\\ z=-16+x^{2}+y^{2} \end{gathered}
com \mathrm{x}, \mathrm{y} e z dados em centimetros e as superficies correspondem às duas camadas de vidro que formam o copo.
Determine o volume de ar (em centímetros cúbicos) entre as duas camadas de vidro.

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies que formam as camadas de vidro e pede o volume de ar entre elas (em centímetros cúbicos). As informações relevantes são:
  • As superfícies são
z = 2,14\bigl(-16 + x^{2} + y^{2}\bigr)
e
z = -16 + x^{2} + y^{2},
com x, y, z em centímetros.
  • A região pedida é a região espacial limitada por essas duas superfícies (isto é, o conjunto de pontos entre as duas “conchas” de vidro).
  • Pedido: determinar o volume do espaço entre as duas superfícies (em \mathrm{cm}^3).

Passo 2

Para saber a projeção no plano xy onde as superfícies se encontram, igualamos as duas expressões de z. Definindo r^{2}=x^{2}+y^{2} (para simplificar os cálculos devido à simetria circular), temos:
2,14\bigl(r^{2}-16\bigr) = r^{2}-16.
Passo a passo:
\bigl(2,14-1\bigr)\bigl(r^{2}-16\bigr)=0,
ou seja
1,14\bigl(r^{2}-16\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=16.
Portanto a interseção ocorre no círculo de raio
r=4.

Passo 3

Precisamos saber qual superfície é a superior (maior z) e qual é a inferior no disco r\le 4. Teste em r=0 (fácil de calcular):
\text{para }r=0:\quad z_{1}=2,14(-16)=-34,24,\qquad z_{2}=-16.
Como -16>-34,24, a superfície z=-16+x^{2}+y^{2} é a superior e z=2,14(-16+x^{2}+y^{2}) é a inferior, pelo menos para r\le 4. Logo o volume entre as duas, na projeção circular de raio 4, é dado por
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{superior}}-z_{\text{inferior}}\bigr)\,dA,
onde D é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 16\}.

Passo 4

Pela simetria circular, é natural usar coordenadas polares. Lembrando:
  • x=r\cos\theta, y=r\sin\theta,
  • dA = r\,dr\,d\theta,
  • o disco D vira 0\le r\le 4, 0\le\theta\le 2\pi.
Agora vamos escrever a diferença z_{\text{superior}}-z_{\text{inferior}} em termos de r. Começando:
z_{\text{superior}}-z_{\text{inferior}}=\bigl(r^{2}-16\bigr)-2,14\bigl(r^{2}-16\bigr).
Fatorando (r^{2}-16):
z_{\text{superior}}-z_{\text{inferior}}=\bigl(1-2,14\bigr)\bigl(r^{2}-16\bigr).
Como 1-2,14=-1,14, expanda para ficar numa forma conveniente:
z_{\text{superior}}-z_{\text{inferior}}=-1,14\,r^{2}+1,14\cdot16.
Calcule 1,14\cdot16:
1,14\cdot16=18,24.
Portanto
z_{\text{superior}}-z_{\text{inferior}}=18,24-1,14\,r^{2}.

Passo 5

Montamos o integral em polares:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}\bigl(18,24-1,14\,r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.
Primeiro integramos em \theta (é independente de \theta), obtendo fator 2\pi:
V=2\pi\int_{0}^{4}\bigl(18,24\,r-1,14\,r^{3}\bigr)\,dr.

Passo 6

Calcule a primitiva e avalie de 0 a 4. Integrando termo a termo:
\int_{0}^{4}18,24\,r\,dr=18,24\cdot\frac{r^{2}}{2}\Big|_{0}^{4}=18,24\cdot\frac{16}{2}=18,24\cdot8=145,92,
\int_{0}^{4}1,14\,r^{3}\,dr=1,14\cdot\frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{4}=1,14\cdot\frac{256}{4}=1,14\cdot64=72,96.
Subtraindo os dois resultados:
\int_{0}^{4}\bigl(18,24\,r-1,14\,r^{3}\bigr)\,dr=145,92-72,96=72,96.
Multiplicando por 2\pi:
V=2\pi\cdot72,96=145,92\,\pi.

Passo 7

Interpretação final: o volume exato é 145,92\,\pi centímetros cúbicos. Se for desejada uma aproximação numérica, usando \pi\approx3,14159,
V\approx 145,92\cdot3,14159\approx 458,42\\ \mathrm{cm}^{3}.

Resposta

\;V=145,92\,\pi\\ \mathrm{cm}^{3}
\;V\approx 458,42\\ \mathrm{cm}^{3}

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