Encontre a solução geral das equações diferenciais dadas.
t y^prime-y=t^2 e^-t, t>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
t,y' - y = t^2e^-t, t>0
O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem, que resolvemos por fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y' + p(t),y = g(t)
Dividindo por t (que é não nulo em t>0), obtemos
y' - 1t,y = t,e^-t,
então
p(t) = -1t, g(t) = t,e^-t

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t) = exp!gl(integral p(t),dtgr) = exp!gl(integral -1t,dtgr) = exp(-ln t) = t^-1

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(t)=t^-1:
t^-1y' - t^-2y = e^-t
Reconhecemos o lado esquerdo como derivada do produto:
ddtl(t^-1yr) = t^-1y' - t^-2y
Logo
ddtl(tfracytr) = e^-t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(tfracytr),dt = integral e^-t,dt Longrightarrow yt = -e^-t + C,
onde C é constante de integração. Assim,
y = tl(-e^-t + Cr) = -,t,e^-t + C,t

Resposta

A solução geral é
y(t) = C,t - t,e^-t,
com C constante arbitrária.

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