Encontre a solução geral das equações diferenciais dadas.
y^prime+y=5 sen 2 t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + y = 5sin(2t)
Para resolver usamos o método padrão: primeiro achamos a solução homogênea (tomando o lado direito igual a zero) e depois uma solução particular para o termo forçante 5sin(2t). A soma dessas duas é a solução geral.

Passo 2

A parte homogênea é
y' + y = 0
Trata-se de uma EDO com coeficiente constante. A solução geral dessa homogênea é
yh = C e^-t,
onde C é constante arbitrária.

Passo 3

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o forçamento é 5sin(2t), propomos
yp = Acos(2t) + Bsin(2t),
com A e B a determinar. Calculamos a derivada:
yp' = -2Asin(2t) + 2Bcos(2t)
Substituindo em y' + y = 5sin(2t) obtemos
(-2Asin(2t)+2Bcos(2t)) + (Acos(2t)+Bsin(2t)) =5sin(2t)

Passo 4

Agrupando termos de
Igualando coeficientes vem o sistema
Da primeira equação . Portanto

Resposta

A solução geral da equação é
y(t) = C e^-t ;-; 2cos(2t) ;+;sin(2t),
onde C é constante arbitrária.

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