Encontre a solução geral da equações diferenciais a seguir, apresentando todos os cálculos e observações de forma organizada:
y^{\prime}-2 x y-4 x y^{1 / 2}=0
y^{\prime}-2 x y-4 x y^{1 / 2}=0
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve
, sua derivada e a raiz quadrada . - Queremos todas as soluções (solução geral), com as observações necessárias sobre domínios/condições.
Passo 2
Motivação da substituição: a presença simultânea de
e de
sugere escrever
como quadrado de algo para simplificar a raiz. Faço a substituição
Explico a derivada: se
, pela regra da cadeia
Essa fórmula é essencial e vale sempre onde
for diferenciável.
Passo 3
Substituo
e
na equação original:
Coloco em fator comum:
Isto dá uma fatoração que obriga uma disjunção de casos:
- caso (A):
em algum intervalo; - caso (B):
em algum intervalo.
Observação importante: a substituição começou com
, logo
representa a raiz principal e deve satisfazer
. Quando tratarmos do caso (B) devemos garantir que a solução obtida para
seja não-negativa no domínio considerado; caso contrário ela não corresponde à raiz principal e pode não satisfazer a equação original.
Passo 4
Resolvo o caso (A):
.
Nesse caso . Verifico na equação original:
Nesse caso
logo a equação é satisfeita. Portanto
é uma solução (solução trivial / singular).
Passo 5
Resolvo o caso (B): equação linear de primeira ordem em
Explico o método: equações da forma
resolvem-se com fator integrante
. Aqui
, então
Multiplico a equação por
:
isto é
Passo 6
Integro ambos os lados:
onde
é constante arbitrária. Faço a integral com a substituição
, de modo que
e
. Assim
Escolhendo a constante de integração com cuidado (absorvendo-a no
já presente), obtemos
Multiplico por
para isolar
:
Passo 7
Volto para
: como
,
onde
é constante real.
Agora a observação sobre sinal: lembrando que
, a expressão encontrada para
só representa a raiz principal quando
no intervalo em que consideramos a solução. Ou seja, a família
produz soluções válidas da equação original somente nas regiões onde essa expressão é não-negativa. Se
for tal que
muda de sinal, então os trechos onde for negativa não correspondem à raiz principal e não satisfazem a equação original (por exemplo, tomando
dá
e
, que não satisfazem a equação original para
).
Passo 8
Verificação rápida (sanity check): derivando
temos
. Então
logo a equação linear em
é satisfeita, e quando
a equação original também é satisfeita (pois voltamos por
com
).