Encontre a solução geral da equações diferenciais a seguir, apresentando todos os cálculos e observações de forma organizada:
y^{\prime}-2 x y-4 x y^{1 / 2}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y' - 2x\,y - 4x\,y^{1/2} = 0.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A equação envolve y, sua derivada y' e a raiz quadrada y^{1/2}.
  • Queremos todas as soluções (solução geral), com as observações necessárias sobre domínios/condições.

Passo 2

Motivação da substituição: a presença simultânea de y e de y^{1/2} sugere escrever y como quadrado de algo para simplificar a raiz. Faço a substituição
u(x)=\sqrt{y(x)}\quad\text{(então }u\ge 0\text{, pois é a raiz principal)}.ãé
Explico a derivada: se y=u^2, pela regra da cadeia
y' = \frac{d}{dx}(u^2) = 2u\,u'.
Essa fórmula é essencial e vale sempre onde u for diferenciável.

Passo 3

Substituo y=u^2 e y'=2u\,u' na equação original:
2u\,u' - 2x\,u^2 - 4x\,u = 0.
Coloco em fator comum:
2u\bigl(u' - x u - 2x\bigr)=0.
Isto dá uma fatoração que obriga uma disjunção de casos:
  • caso (A): u(x)=0 em algum intervalo;
  • caso (B): u' - x u - 2x = 0 em algum intervalo.
Observação importante: a substituição começou com u=\sqrt{y}, logo u representa a raiz principal e deve satisfazer u\ge 0. Quando tratarmos do caso (B) devemos garantir que a solução obtida para u seja não-negativa no domínio considerado; caso contrário ela não corresponde à raiz principal e pode não satisfazer a equação original.

Passo 4

Resolvo o caso (A): u\equiv 0.
Nesse caso y=u^2\equiv 0. Verifico na equação original:
y'=0,\quad -2x y -4x y^{1/2}=0,
logo a equação é satisfeita. Portanto
y(x)\equiv 0
é uma solução (solução trivial / singular).

Passo 5

Resolvo o caso (B): equação linear de primeira ordem em u
u' - x u = 2x.
Explico o método: equações da forma u' + p(x)u = q(x) resolvem-se com fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Aqui p(x)=-x, então
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -x\,dx\Bigr)=\exp\!\Bigl(-\frac{x^2}{2}\Bigr)=e^{-x^2/2}.
Multiplico a equação por \mu:
e^{-x^2/2}u' - x e^{-x^2/2} u = 2x e^{-x^2/2},
isto é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^2/2} u\bigr) = 2x e^{-x^2/2}.

Passo 6

Integro ambos os lados:
e^{-x^2/2} u = \int 2x e^{-x^2/2}\,dx + C,
onde C é constante arbitrária. Faço a integral com a substituição s=-x^2/2, de modo que ds=-x\,dx e 2x\,dx=-2\,ds. Assim
\int 2x e^{-x^2/2}\,dx = \int -2 e^{s}\,ds = -2 e^{s} + \text{const} = -2 e^{-x^2/2} + \text{const}.
Escolhendo a constante de integração com cuidado (absorvendo-a no C já presente), obtemos
e^{-x^2/2} u = -2 e^{-x^2/2} + C.
Multiplico por e^{x^2/2} para isolar u:
u(x) = C e^{x^2/2} - 2.

Passo 7

Volto para y: como y = u^2,
y(x) = \bigl(C e^{x^2/2} - 2\bigr)^2,
onde C é constante real.
Agora a observação sobre sinal: lembrando que u=\sqrt{y}\ge 0, a expressão encontrada para u só representa a raiz principal quando
C e^{x^2/2} - 2 \ge 0
no intervalo em que consideramos a solução. Ou seja, a família \,u(x)=C e^{x^2/2}-2 produz soluções válidas da equação original somente nas regiões onde essa expressão é não-negativa. Se C for tal que C e^{x^2/2}-2 muda de sinal, então os trechos onde for negativa não correspondem à raiz principal e não satisfazem a equação original (por exemplo, tomando C=0 u=-2 e y=4, que não satisfazem a equação original para x\neq 0).

Passo 8

Verificação rápida (sanity check): derivando u(x)=C e^{x^2/2}-2 temos u' = C x e^{x^2/2}. Então
u' - x u = C x e^{x^2/2} - x\bigl(C e^{x^2/2}-2\bigr)=2x,
logo a equação linear em u é satisfeita, e quando u\ge0 a equação original também é satisfeita (pois voltamos por y=u^2 com u=\sqrt{y}).

Resposta

y(x)\equiv 0
y(x)=\bigl(C e^{x^2/2} - 2\bigr)^2, onde C é constante real e a solução é válida nos intervalos onde C e^{x^2/2}-2\ge 0.

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