Encontre a solução geral das equaçồes.
(e)
(e)
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é EDOs lineares com coeficientes constantes e usaremos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em obter a solução geral como
onde
é a solução da homogênea e
uma particular.
Passo 2
Encontramos
resolvendo a homogênea
A equação característica é
Logo
com
constantes arbitrárias.
Passo 3
Procuramos
para o termo
. Como
e
são soluções da homogênea, há ressonância de ordem 1, e tomamos o “ansatz”
Calculando
e igualando a
obtém-se
de onde
Logo
Passo 4
Procuramos
para o termo polinomial
. Não há ressonância com
, então usamos
Calculando
e igualando a
dá o sistema
cuja solução é
Portanto
Passo 5
A solução particular completa é
Pela linearidade, a solução geral é