Encontre a solução geral das equaçồes.
(e) y^{\prime \prime}+4 y=2 \operatorname{sen}(2 t)+t t

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = 2\sin(2t) + t^2.
O conteúdo é EDOs lineares com coeficientes constantes e usaremos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em obter a solução geral como
y(t) = y_h(t) + y_p(t),
onde y_h é a solução da homogênea e y_p uma particular.

Passo 2

Encontramos y_h resolvendo a homogênea
y'' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm 2\,\mathrm{i}.
Logo
y_h(t) = C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Procuramos y_{p1} para o termo 2\sin(2t). Como \sin(2t) e \cos(2t) são soluções da homogênea, há ressonância de ordem 1, e tomamos o “ansatz”
y_{p1}(t) = t\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr).
Calculando y_{p1}''+4y_{p1} e igualando a 2\sin(2t) obtém-se
4B\cos(2t)-4A\sin(2t)=2\sin(2t),
de onde
4B=0\\ \Rightarrow\\ B=0, \quad -4A=2\\ \Rightarrow\\ A=-\tfrac12.
Logo
y_{p1}(t) = -\tfrac12\,t\cos(2t).

Passo 4

Procuramos y_{p2} para o termo polinomial t^2. Não há ressonância com r=\pm2\mathrm{i}, então usamos
y_{p2}(t) = a\,t^2 + b\,t + c.
Calculando
y_{p2}''+4y_{p2} =2a +4\bigl(a\,t^2 + b\,t + c\bigr) =4a\,t^2 +4b\,t + (2a+4c)
e igualando a t^2 dá o sistema
4a=1,\quad 4b=0,\quad 2a+4c=0
cuja solução é
a=\tfrac14,\quad b=0,\quad c=-\tfrac18.
Portanto
y_{p2}(t)=\tfrac14\,t^2 - \tfrac18.

Passo 5

A solução particular completa é
y_p(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t) =-\tfrac12\,t\cos(2t)+\tfrac14\,t^2-\tfrac18.
Pela linearidade, a solução geral é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t) -\tfrac12\,t\cos(2t)+\tfrac14\,t^2-\tfrac18.

Resposta

y(t) =C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t) -\tfrac12\,t\cos(2t) +\tfrac14\,t^2 -\tfrac18.

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