Resolver as integrais definidas:
\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{1+e^{2 x}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\,dx.
O conteúdo envolvido é técnica de substituição em integrais, reconhecendo o padrão que leva à forma \int\frac{1}{1+u^{2}}\,du.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{x},
logo
du = e^{x}\,dx.
Perceba que o numerador e^{x}\,dx transforma-se exatamente em du.

Passo 3

Ajustamos os limites de integração:
quando x=0, u=e^{0}=1;
quando x=1, u=e^{1}=e.
Assim a integral fica
\int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\,dx =\int_{1}^{e}\frac{1}{1+u^{2}}\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int\frac{1}{1+u^{2}}\,du = \arctan(u).
Portanto
\int_{1}^{e}\frac{1}{1+u^{2}}\,du =\bigl[\arctan(u)\bigr]_{1}^{e}.

Passo 5

Avaliando nos limites, obtemos
\arctan(e)-\arctan(1) =\arctan(e)-\frac{\pi}{4}.

Resposta

\arctan(e)-\frac{\pi}{4}

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