Resolver as integrais definidas:
\int_{0}^{1} x^{2 / 5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{0}^{1} x^{2/5}\,dx.
Este é um problema de integração de funções potenciais. Vamos usar a regra de potência para integrais indefinidas, que diz
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
e em seguida avaliar o resultado nos limites de 0 a 1.

Passo 2

Aplicando a regra de potência com n = \tfrac{2}{5}, obtemos a primitiva
\int x^{2/5}\,dx = \frac{x^{2/5 + 1}}{2/5 + 1} + C = \frac{x^{7/5}}{7/5} + C = \frac{5}{7}\,x^{7/5} + C.

Passo 3

Para a integral definida, avaliamos a primitiva em x=1 e em x=0:
\int_{0}^{1} x^{2/5}\,dx = \left[\frac{5}{7}\,x^{7/5}\right]_{0}^{1} = \frac{5}{7}\cdot 1^{7/5} \;-\; \frac{5}{7}\cdot 0^{7/5} = \frac{5}{7} - 0 = \frac{5}{7}.

Resposta

\frac{5}{7}

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