Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente n vezes.
8. y^{\prime \prime \prime}=\cos (x)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}=\cos(x).
O que se pede: encontrar a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente n vezes. Neste caso particular o lado esquerdo é a terceira derivada de y, então será preciso integrar três vezes para obter y. As informações relevantes que temos:
  • A função do lado direito é \cos(x).
  • Cada integração indefinida acrescenta uma constante de integração arbitrária.
  • Ao final devemos obter a solução geral y(x) com três constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeira integração (da terceira para a segunda derivada). Lembrando que a integral indefinida é a operação inversa da derivada e que a integral de \cos(x) é \sin(x). Integramos ambos os lados em relação a x:
\int y^{\prime\prime\prime}\,dx=\int \cos(x)\,dx.
Pelo teorema fundamental do cálculo o lado esquerdo vira y^{\prime\prime} e o direito é \sin(x) mais uma constante arbitrária C_1. Assim:
y^{\prime\prime}=\sin(x)+C_1.
Explicação didática: a constante C_1 aparece porque a integral indefinida é determinada apenas até uma constante; isso representa a família de todas as antiderivadas possíveis.

Passo 3

Segunda integração (da segunda para a primeira derivada). Integramos a expressão encontrada:
\int y^{\prime\prime}\,dx=\int \big(\sin(x)+C_1\big)\,dx.
Usamos linearidade da integral (pode integrar termo a termo). A integral de \sin(x) é -\cos(x). A integral de C_1 em relação a x é C_1 x. Acrescentamos uma nova constante de integração C_2. Logo:
y^{\prime}=-\cos(x)+C_1 x + C_2.
Comentário prático: constantes multiplicadas por x surgem quando integramos constantes; sempre que integrar uma constante A obtém-se Ax.

Passo 4

Terceira integração (da primeira derivada para y). Integramos novamente:
\int y^{\prime}\,dx=\int \big(-\cos(x)+C_1 x + C_2\big)\,dx.
Calculamos termo a termo:
  • \displaystyle\int -\cos(x)\,dx = -\sin(x), porque \frac{d}{dx}(-\sin x)=-\cos x.
  • \displaystyle\int C_1 x\,dx = C_1\frac{x^2}{2}=\frac{C_1}{2}x^2.
  • \displaystyle\int C_2\,dx = C_2 x.
    Acrescentamos a terceira constante de integração C_3. Assim obtemos a solução geral:
y(x)=-\sin(x)+\frac{C_1}{2}x^2 + C_2 x + C_3.
Explicação: aparecem exatamente três constantes C_1,C_2,C_3 porque a equação é de ordem 3; a solução geral de uma ODE de ordem m tem m constantes arbitrárias.

Passo 5

Verificação rápida (demonstração de que está correto). Diferenciando sucessivamente:
y'(x)=-\cos(x)+C_1 x + C_2,
y''(x)=\sin(x)+C_1,
y^{\prime\prime\prime}(x)=\cos(x).
Obtemos exatamente a equação inicial, portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=-\sin(x)+\frac{C_1}{2}x^2 + C_2 x + C_3

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