Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente
vezes.
8.
8.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente
vezes. Neste caso particular o lado esquerdo é a terceira derivada de
, então será preciso integrar três vezes para obter
. As informações relevantes que temos:
- A função do lado direito é
. - Cada integração indefinida acrescenta uma constante de integração arbitrária.
- Ao final devemos obter a solução geral
com três constantes arbitrárias.
Passo 2
Primeira integração (da terceira para a segunda derivada). Lembrando que a integral indefinida é a operação inversa da derivada e que a integral de
é
. Integramos ambos os lados em relação a
:
Pelo teorema fundamental do cálculo o lado esquerdo vira
e o direito é
mais uma constante arbitrária
. Assim:
Explicação didática: a constante
aparece porque a integral indefinida é determinada apenas até uma constante; isso representa a família de todas as antiderivadas possíveis.
Passo 3
Segunda integração (da segunda para a primeira derivada). Integramos a expressão encontrada:
Usamos linearidade da integral (pode integrar termo a termo). A integral de
é
. A integral de
em relação a
é
. Acrescentamos uma nova constante de integração
. Logo:
Comentário prático: constantes multiplicadas por
surgem quando integramos constantes; sempre que integrar uma constante
obtém-se
.
Passo 4
Terceira integração (da primeira derivada para
). Integramos novamente:
Calculamos termo a termo:
-
, porque . -
. -
.
Acrescentamos a terceira constante de integração. Assim obtemos a solução geral:
Explicação: aparecem exatamente três constantes
porque a equação é de ordem 3; a solução geral de uma ODE de ordem
tem
constantes arbitrárias.
Passo 5
Verificação rápida (demonstração de que está correto). Diferenciando sucessivamente:
Obtemos exatamente a equação inicial, portanto a solução está correta.