Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente n vezes.
6. y^{\prime \prime \prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}=0
e pede a solução geral obtida integrando ambos os lados consecutivamente n vezes. Aqui n=3 porque aparece a derivada de terceira ordem. Ou seja, quero encontrar y(x) tal que a terceira derivada de y seja zero em todo ponto.
Informações relevantes:
  • A equação afirma que a função y(x) tem terceira derivada nula.
  • Deve-se integrar ambas as mãos consecutivamente três vezes, introduzindo constantes de integração a cada passo.
  • O resultado será a família de soluções gerais com constantes arbitrárias.

Passo 2

Conceito importante (bem mastigado): integrar a igualdade significa aplicar a primitiva em cada lado. Se f'(x)=g(x), então uma primitiva dá
f(x)=\int g(x)\,dx + C,
onde C é uma constante arbitrária (chamada constante de integração). Cada integração indefinida acrescenta uma nova constante arbitrária.
Agora aplico isso à equação dada: integrar a primeira vez em relação a x:
\int y^{\prime\prime\prime}(x)\,dx = \int 0\,dx.
A primitiva de y^{\prime\prime\prime} é y^{\prime\prime} e a primitiva de 0 é uma constante. Logo obtemos
y^{\prime\prime}(x)=C_{1},
onde C_{1} é uma constante real arbitrária.

Passo 3

Integro pela segunda vez. Parto de \;y^{\prime\prime}(x)=C_{1}\; e integro:
\int y^{\prime\prime}(x)\,dx = \int C_{1}\,dx.
A primitiva de y^{\prime\prime} é y^{\prime}. A primitiva de C_{1} é C_{1}x mais outra constante de integração. Assim
y^{\prime}(x)=C_{1}x + C_{2},
onde C_{2} é uma nova constante arbitrária.

Passo 4

Integro pela terceira vez. Parto de \;y^{\prime}(x)=C_{1}x + C_{2}\; e integro:
\int y^{\prime}(x)\,dx = \int \bigl(C_{1}x + C_{2}\bigr)\,dx.
A primitiva de y^{\prime} é y. A primitiva do lado direito é \dfrac{C_{1}}{2}x^{2}+C_{2}x mais outra constante. Logo
y(x)=\frac{C_{1}}{2}\,x^{2} + C_{2}x + C_{3},
onde C_{3} é a terceira constante arbitrária de integração.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida:
  • A solução encontrada é um polinômio de grau 2 com três constantes arbitrárias, como esperado para uma equação diferencial de ordem 3.
  • Verificação por diferenciação: diferenciando y(x) três vezes obtemos
y'(x)=C_{1}x + C_{2},\qquad y''(x)=C_{1},\qquad y'''(x)=0,
logo a solução satisfaz a equação original.
  • Observação prática: as constantes C_{1},C_{2},C_{3} são determinadas por condições iniciais; por exemplo, se forem dadas y(0), y'(0) e y''(0) encontra-se
C_{1}=y''(0),\quad C_{2}=y'(0),\quad C_{3}=y(0).

Resposta

y(x)=\frac{C_{1}}{2}\,x^{2} + C_{2}x + C_{3}

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