Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente
vezes.
6.
6.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral obtida integrando ambos os lados consecutivamente
vezes. Aqui
porque aparece a derivada de terceira ordem. Ou seja, quero encontrar
tal que a terceira derivada de
seja zero em todo ponto.
Informações relevantes:
- A equação afirma que a função
tem terceira derivada nula. - Deve-se integrar ambas as mãos consecutivamente três vezes, introduzindo constantes de integração a cada passo.
- O resultado será a família de soluções gerais com constantes arbitrárias.
Passo 2
Conceito importante (bem mastigado): integrar a igualdade significa aplicar a primitiva em cada lado. Se
, então uma primitiva dá
onde
é uma constante arbitrária (chamada constante de integração). Cada integração indefinida acrescenta uma nova constante arbitrária.
Agora aplico isso à equação dada: integrar a primeira vez em relação a
:
A primitiva de
é
e a primitiva de
é uma constante. Logo obtemos
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 3
Integro pela segunda vez. Parto de
e integro:
A primitiva de
é
. A primitiva de
é
mais outra constante de integração. Assim
onde
é uma nova constante arbitrária.
Passo 4
Integro pela terceira vez. Parto de
e integro:
A primitiva de
é
. A primitiva do lado direito é
mais outra constante. Logo
onde
é a terceira constante arbitrária de integração.
Passo 5
Interpretação e verificação rápida:
- A solução encontrada é um polinômio de grau
com três constantes arbitrárias, como esperado para uma equação diferencial de ordem . - Verificação por diferenciação: diferenciando
três vezes obtemos
logo a solução satisfaz a equação original.
- Observação prática: as constantes
são determinadas por condições iniciais; por exemplo, se forem dadas , e encontra-se