Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente
vezes.
7.
7.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral, integrando ambos os lados consecutivamente
vezes (aqui
, porque a derivada de maior ordem é a terceira). Informações relevantes:
- O lado direito é a função
. - Ao integrar indefinidamente cada vez acrescenta-se uma constante de integração arbitrária.
- A solução geral deve conter três constantes arbitrárias (uma para cada integração).
Passo 2
Primeira integração (integrar os dois lados uma vez). Explico a regra que uso: a regra do poder para integrais diz que, para
,
e a integral é linear, isto é
.
Aplicando ao nosso caso:
Calculo explícito:
Não esquecer a constante de integração que aparece nesta primeira integração; vamos chamá‑la de
. Portanto
Passo 3
Segunda integração (integrar
para obter
). Uso novamente linearidade e a regra do poder:
Calcule termo a termo:
Acrescenta‑se uma nova constante de integração, chamemos de
. Assim
Passo 4
Terceira integração (integrar
para obter
). Procedo do mesmo jeito:
Integro termo a termo:
Acrescenta‑se a terceira constante de integração, chamemos de
. Portanto uma forma da solução é
Passo 5
Simplificação e comentário sobre constantes arbitrárias. As constantes
são arbitrárias; pode‑se renomear
por uma nova constante arbitrária
. Assim a solução geral fica mais limpa escrevendo
onde
são constantes arbitrárias reais. Isso é perfeitamente equivalente à forma com
.
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derivando três vezes a solução final obtém‑se de volta a equação inicial. Se
então
o que confere com o enunciado. Boa notícia: temos três constantes arbitrárias como esperado para uma ODE de terceira ordem.