Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente n vezes.
7. y^{\prime \prime \prime}=24 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}=24x.
O que se pede: encontrar a solução geral, integrando ambos os lados consecutivamente n vezes (aqui n=3, porque a derivada de maior ordem é a terceira). Informações relevantes:
  • O lado direito é a função 24x.
  • Ao integrar indefinidamente cada vez acrescenta-se uma constante de integração arbitrária.
  • A solução geral deve conter três constantes arbitrárias (uma para cada integração).

Passo 2

Primeira integração (integrar os dois lados uma vez). Explico a regra que uso: a regra do poder para integrais diz que, para p\neq-1,
\int x^{p}\,dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C,
e a integral é linear, isto é \int(a f(x)+b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Aplicando ao nosso caso:
\int y^{\prime\prime\prime}\,dx = y^{\prime\prime} = \int 24x\,dx.
Calculo explícito:
\int 24x\,dx = 24\int x\,dx = 24\cdot\frac{x^{2}}{2}=12x^{2}.
Não esquecer a constante de integração que aparece nesta primeira integração; vamos chamá‑la de \,C_{1}. Portanto
y^{\prime\prime}=12x^{2}+C_{1}.

Passo 3

Segunda integração (integrar y^{\prime\prime} para obter y'). Uso novamente linearidade e a regra do poder:
y'=\int y^{\prime\prime}\,dx=\int\bigl(12x^{2}+C_{1}\bigr)\,dx.
Calcule termo a termo:
\int 12x^{2}\,dx = 12\cdot\frac{x^{3}}{3}=4x^{3}, \qquad \int C_{1}\,dx = C_{1}x.
Acrescenta‑se uma nova constante de integração, chamemos de \,C_{2}. Assim
y'=4x^{3}+C_{1}x+C_{2}.

Passo 4

Terceira integração (integrar y' para obter y). Procedo do mesmo jeito:
y=\int y'\,dx=\int\bigl(4x^{3}+C_{1}x+C_{2}\bigr)\,dx.
Integro termo a termo:
\int 4x^{3}\,dx = 4\cdot\frac{x^{4}}{4}=x^{4}, \qquad \int C_{1}x\,dx = C_{1}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{C_{1}}{2}x^{2}, \qquad \int C_{2}\,dx = C_{2}x.
Acrescenta‑se a terceira constante de integração, chamemos de \,C_{3}. Portanto uma forma da solução é
y = x^{4}+\frac{C_{1}}{2}x^{2}+C_{2}x+C_{3}.

Passo 5

Simplificação e comentário sobre constantes arbitrárias. As constantes C_{1},C_{2},C_{3} são arbitrárias; pode‑se renomear \dfrac{C_{1}}{2} por uma nova constante arbitrária A. Assim a solução geral fica mais limpa escrevendo
y = x^{4}+A x^{2}+B x + C,
onde A,B,C são constantes arbitrárias reais. Isso é perfeitamente equivalente à forma com C_{1},C_{2},C_{3}.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando três vezes a solução final obtém‑se de volta a equação inicial. Se
y = x^{4}+A x^{2}+B x + C,
então
y' = 4x^{3}+2A x + B, \qquad y'' = 12x^{2}+2A, \qquad y^{\prime\prime\prime}=24x,
o que confere com o enunciado. Boa notícia: temos três constantes arbitrárias como esperado para uma ODE de terceira ordem.

Resposta

y = x^{4}+A x^{2}+B x + C

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