Encontre uma solução geral dos sistemas a seguir.
ly1^prime=y1+y2 y2^prime=y1+y2

Passo 1

O sistema dado é um sistema de EDOs lineares homogêneas de primeira ordem em duas variáveis, onde precisamos encontrar a solução geral usando autovalores e autovetores.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma y'=A y, com
A=1 & 11 & 1

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A por
det(A-lambda I)=det1-lambda & 11 & 1-lambda=(1-lambda)^2-1=lambda(lambda-2), o que dá os autovalores lambda1=2 e lambda2=0.

Passo 4

Para lambda1=2 resolvemos (A-2I)v=0:
-1 & 11 & -1v=0implies v1=11

Passo 5

Para lambda2=0 resolvemos Av=0:
1 & 11 & 1v=0implies v2=1-1

Passo 6

Como temos duas direções independentes, a solução geral é
y(t)=C1e^2t11+C2e^0,t1-1

Resposta

y1(t)=C1e^2t+C2, y2(t)=C1e^2t-C2

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