Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial linear de primeira ordem
sin (t) y^prime(t)+cos (t) y(t)=sin ^2(t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem sin(t)y'(t)+cos(t)y(t)=sin^2(t). Vamos usar o método do fator integrante para EDOs do tipo y'+p(t)y=g(t).

Passo 2

Dividimos a equação por sin(t) (supondo sin(t)neq0) para colocá-la no formato padrão:
y'(t)+cot(t),y(t)=sin(t)

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t):
mu(t)=expl(integralcot(t),dtr)=expl(ln|sin(t)|r)=sin(t)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão por mu(t)=sin(t) e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de produto:
ddtl(sin(t),y(t)r)=sin^2(t)

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t:
sin(t),y(t)=integralsin^2(t),dt+C

Passo 6

Usamos a identidade sin^2(t)=tfrac12(1-cos(2t)) para calcular a integral:
integralsin^2(t),dt=t2-sin(2t)4

Passo 7

Isolamos y(t) dividindo por sin(t):
y(t)=tfract2-tfracsin(2t)4+Csin(t)

Passo 8

Podemos simplificar usando sin(2t)=2sin(t)cos(t):
y(t)=t2sin(t)-cos(t)2+C,csc(t)

Resposta

A solução geral é
y(t)=t2sin(t)-cos(t)2+C,csc(t),
com constante arbitrária C.

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