Encontre a solução geral para a seguinte equação de Legendre e Bessel (opcional).
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-9) y=0

Passo 1

Temos a equação
x^2y'' + x y' + (x^2 - 9)y = 0
que é uma equação diferencial de segunda ordem dependendo de x. Vamos reconhecer de que tipo de equação se trata e usar a teoria apropriada para resolver.

Passo 2

A forma canônica da equação de Bessel de ordem nu é
x^2y'' + x y' + (x^2 - nu^2)y = 0
Isso significa que qualquer equação que possa ser escrita desse jeito tem soluções em termos das funções de Bessel.

Passo 3

Comparando os coeficientes da nossa equação com a forma canônica, vemos que
nu^2 = 9 Longrightarrow nu = 3

Passo 4

Pela teoria, a solução geral da equação de Bessel de ordem nu é
y(x) = C1Jnu(x) + C2Ynu(x),
onde Jnu e Ynu são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem nu. Aplicando nu=3, obtemos a solução requerida.

Resposta

y(x) = C1J3(x) + C2Y3(x)

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