Use séries de potências para resolver a seguinte EDO.
y^prime prime-3 y=0
y(0)=1, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y’’ – 3y = 0 com condições iniciais y(0)=1 e y’(0)=2 usando séries de potências. Vamos expandir y em série em torno de x=0 e achar uma recorrência para os coeficientes.

Passo 2

Assumimos a solução na forma de série de potências
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
Dessa forma temos
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1,
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2

Passo 3

Substituindo na EDO y’’ – 3y = 0 obtemos
sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2-3sumn=0^inftyanx^n=0
Reindexando o primeiro somatório com m=n−2 dá
summ=0^infty(m+2)(m+1)am+2x^m-3summ=0^inftyamx^m=0

Passo 4

Como ambas as séries estão em x^m, podemos juntar os coeficientes de cada potência x^m e exigir que sejam zero:
(m+2)(m+1)am+2-3am=0,\nresultando na recorrência
am+2=3(m+2)(m+1),am, m>=0

Passo 5

As condições iniciais dão os dois primeiros coeficientes:
y(0)=a0=1,
y'(0)=a1=2
Agora construímos separadamente as séries par e ímpar. Para n=2k (par):
a2k=3^k(2k)!a0=3^k(2k)!
Para n=2k+1 (ímpar):
a2k+1=3^k(2k+1)!a1=23^k(2k+1)!

Passo 6

As duas séries tornam-se
ypar(x)=sumk=0^infty3^k(2k)!x^2k=cosh(raiz3x),
yímpar(x)=sumk=0^infty23^k(2k+1)!x^2k+1=2raiz3sinh(raiz3x)í
Somando, a solução geral que respeita as condições iniciais é a combinação dessas duas partes.

Passo 7

Verificamos que essa expressão satisfaz y(0)=1 e y’(0)=2 e resolve y’’–3y=0, então concluímos a solução.

Resposta

y(x)=\cosh\bigl(\sqrt{3},x\bigr)+\tfrac{2}{\sqrt{3}}\sinh\bigl(\sqrt{3},x\bigr)

Exercícios relacionados