Use séries de potências para resolver a seguinte EDO.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO y’’ – 3y = 0 com condições iniciais y(0)=1 e y’(0)=2 usando séries de potências. Vamos expandir y em série em torno de x=0 e achar uma recorrência para os coeficientes.
Passo 2
Assumimos a solução na forma de série de potências
Dessa forma temos
Passo 3
Substituindo na EDO y’’ – 3y = 0 obtemos
Reindexando o primeiro somatório com m=n−2 dá
Passo 4
Como ambas as séries estão em x^m, podemos juntar os coeficientes de cada potência x^m e exigir que sejam zero:
Passo 5
As condições iniciais dão os dois primeiros coeficientes:
Agora construímos separadamente as séries par e ímpar. Para n=2k (par):
Para n=2k+1 (ímpar):
Passo 6
As duas séries tornam-se
Somando, a solução geral que respeita as condições iniciais é a combinação dessas duas partes.
Passo 7
Verificamos que essa expressão satisfaz y(0)=1 e y’(0)=2 e resolve y’’–3y=0, então concluímos a solução.
Resposta
y(x)=\cosh\bigl(\sqrt{3},x\bigr)+\tfrac{2}{\sqrt{3}}\sinh\bigl(\sqrt{3},x\bigr)