Determine se a função é periódica, se for, encontre seu perímetro fundamental.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a função $ f(x) = \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) $ é periódica. Se for, a gente também precisa encontrar o período fundamental dela. Para isso, vamos usar conceitos de trigonometria, especificamente sobre funções periódicas e seus períodos.
Passo 2
Primeiro, o que significa uma função ser periódica? Basicamente, uma função é periódica se repete seus valores em intervalos regulares ao longo do eixo $ x $. Esse intervalo se chama período. No caso das funções trigonométricas como o seno, sabemos que elas são periódicas.
Passo 3
Vamos identificar a parte dentro do seno: $ \frac{\pi x}{L} $. A função $ \sin(\theta) $ tem período $ 2\pi $, ou seja, $ \sin(\theta) = \sin(\theta + 2\pi) $ para todo $ \theta $.
Passo 4
Para encontrar o período da nossa função $ f(x) $, igualamos:
Onde $ T $ é o período que queremos encontrar.
Passo 5
Resolvendo para $ T $:
Subtraindo $ \frac{\pi x}{L} $ de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{L}{\pi} $:
Resposta
A função $ f(x) = \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) $ é periódica, e seu período fundamental é $ T = 2L $.