Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
x^2 y^(4)+4 x y^prime prime prime+2 y^prime prime=0 (x>0)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
x^2y^(4)+4x,y'''+2y''=0, x>0,
que é uma equação de Euler–Cauchy de ordem 4. Para esse tipo de EDO, a técnica clássica é supor uma solução da forma
y=x^r

Passo 2

Supondo y=x^r, calculamos as derivadas necessárias:
y' = r,x^r-1, y'' = r(r-1),x^r-2, y''' = r(r-1)(r-2),x^r-3, y^(4) = r(r-1)(r-2)(r-3),x^r-4

Passo 3

Substituindo na EDO:
x^2l[r(r-1)(r-2)(r-3)x^r-4r] +4xl[r(r-1)(r-2)x^r-3r] +2l[r(r-1)x^r-2r]=0,
o que simplifica para
l[r(r-1)(r-2)(r-3)+4r(r-1)(r-2)+2r(r-1)r]x^r-2=0

Passo 4

Fatorando o coeficiente de x^r-2:
r(r-1)l[(r-2)(r-3)+4(r-2)+2r] =r(r-1)l[r(r-1)r] =l[r(r-1)r]^2=0
Daí as raízes da equação característica são
r=0(dupla), r=1(dupla)
Para raízes múltiplas em equações de Euler, as soluções fundamentais são, para r de multiplicidade 2,
x^r, x^rln(x)
Assim, as soluções independentes são
x^0=1, x^0ln(x)=ln(x), x^1=x, x^1ln(x)=xln(x)

Passo 5

A combinação linear dessas quatro soluções forma a solução geral:
y=C1cdot1+C2ln(x)+C3x+C4,xln(x),
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Resposta

boxedy=C1+C2ln(x)+C3x+C4,xln(x)

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