Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
\left(x^{2}+y^{2} d x+\left(x^{2}-x y\right) d y=0)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx \;+\;\bigl(x^{2}-x\,y\bigr)\,dy = 0
Esse é um caso de equação homogênea de grau 2, pois as funções M(x,y)=x^{2}+y^{2} e N(x,y)=x^{2}-x\,y são homogêneas de mesmo grau. Para resolver, vamos usar a substituição
y = v\,x,\quad dy = v\,dx + x\,dv.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma dy/dx. Dividindo tudo por dx,
x^{2}+y^{2} \;+\;(x^{2}-x\,y)\,\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\,\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-x\,y}.
Agora substituímos y=v\,x e dy/dx = v + x\,dv/dx. No numerador e denominador:
x^{2}+y^{2} = x^{2}(1+v^{2}), \quad x^{2}-x\,y = x^{2}(1-v).
Logo
v + x\frac{dv}{dx} = -\,\frac{1+v^{2}}{1-v}.

Passo 3

Isolamos x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = -\,\frac{1+v^{2}}{1-v} \;-\; v = -\,\frac{1+v^{2}+v(1-v)}{1-v} = -\,\frac{1+v^{2}+v - v^{2}}{1-v} = -\,\frac{1+v}{1-v}.
Assim obtemos a forma separável
\frac{1-v}{1+v}\,dv = -\,\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, escrevemos
\frac{1-v}{1+v} = 1 \;-\;\frac{2v}{1+v},
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\int\frac{1-v}{1+v}\,dv = \int\!\Bigl(1 - \frac{2v}{1+v}\Bigr)dv = v - 2\int\frac{v}{1+v}\,dv.
Fazendo \displaystyle\int\frac{v}{1+v}dv =\int\Bigl(1-\frac1{1+v}\Bigr)dv = v - \ln\lvert1+v\rvert, resulta
\int\frac{1-v}{1+v}\,dv = v -2\bigl(v - \ln\lvert1+v\rvert\bigr) = -v +2\ln\lvert1+v\rvert.
Do outro lado, \displaystyle\int-\,\frac{dx}{x} = -\ln\lvert x\rvert. Portanto
-v +2\ln\lvert1+v\rvert = -\ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Voltamos a v=y/x. Multiplicando tudo por -1 e reunindo constantes, obtemos
v - 2\ln\lvert1+v\rvert = \ln\lvert x\rvert + C' \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert x\rvert +2\ln\lvert1+\tfrac{y}{x}\rvert - \frac{y}{x} = C'.
Simplificando o logaritmo:
\ln\!\Bigl[x\,(1+\tfrac{y}{x})^{2}\Bigr] = \ln\!\Bigl[\frac{(x+y)^{2}}{x}\Bigr],
chegamos à forma implícita
\ln\!\Bigl(\frac{(x+y)^{2}}{x}\Bigr) - \frac{y}{x} = C.

Resposta

\boxed{ \ln\!\Bigl(\frac{(x+y)^{2}}{x}\Bigr) - \frac{y}{x} = C }.

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