Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
d x+\left(x^{2}-x y\right) d y=0)
d x+\left(x^{2}-x y\right) d y=0)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Esse é um caso de equação homogênea de grau
, pois as funções
e
são homogêneas de mesmo grau. Para resolver, vamos usar a substituição
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma
. Dividindo tudo por
,
Agora substituímos
e
. No numerador e denominador:
Logo
Passo 3
Isolamos
:
Assim obtemos a forma separável
Passo 4
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, escrevemos
logo
Fazendo
, resulta
Do outro lado,
. Portanto
Passo 5
Voltamos a
. Multiplicando tudo por
e reunindo constantes, obtemos
Simplificando o logaritmo:
chegamos à forma implícita