Resolva as seguintes integrais indefinidas utilizando a Regra da Substituição:
\int \frac{1}{x \ln x} d x \quad( considere x>0, x \neq 1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \int \frac{1}{x\ln x}\,dx, considerando x>0 e x\neq 1. O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois a derivada de \ln x aparece no integrando.

Passo 2

Definimos a substituição
u = \ln x.
Diferenciando, obtemos
du = \frac{1}{x}\,dx,
ou seja, \frac{dx}{x}=du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u, temos
\int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\underbrace{\frac{dx}{x}}_{du} = \int \frac{1}{u}\,du.
E sabemos que
\int \frac{1}{u}\,du = \ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável original, u = \ln x. Logo, uma primitiva da integral dada é
\ln\bigl|\ln x\bigr| + C.

Resposta

\ln\bigl|\ln x\bigr| + C

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