Encontre a solução geral das seguintes Equações diferenciais ordinárias lineares de
ordem:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações fornecidas:
- A equação é de primeira ordem e linear em
. - Os coeficientes dependem de
: o coeficiente de é e o coeficiente de é .
O que se pede: encontrar a solução geralque satisfaça essa equação para real.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de equação linear de primeira ordem:
Para isso dividimos toda a equação por
(que nunca é zero, pois
para todo
). Ao dividir, obtemos
Logo identificamos
Passo 3
Explicando o método do fator integrante (intenções e fórmulas):
- A ideia é multiplicar a equação padrão por uma função
(o fator integrante) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de . - Queremos
satisfazendo
- Comparando os dois lados, precisamos que
. Isso dá a equação diferencial para :
- Integrando, obtemos a fórmula prática do fator integrante:
Essa
torna a equação multiplicada exatamente integrável.
Passo 4
Calcular o fator integrante
usando
:
Aqui é útil perceber que a derivada de
é
, então essa integral é um logaritmo:
Tomando a exponencial e desprezando a constante multiplicativa (pois o fator integrante pode ser multiplicado por constantes sem alterar a solução geral), escolhemos
Passo 5
Multiplicar a equação padrão por
. Começando da forma dividida:
multiplicando por
obtemos a equação original reescrita como
Agora reconhecemos que o lado esquerdo é exatamente a derivada de
, porque
Portanto a equação fica
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo dá
e a do direito dá
mais constante de integração
. Assim
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 7
Isolar
para obter a solução geral:
Como forma alternativa pode-se escrever
mostrando a soma de uma solução particular
e da família de soluções da homogênea
. O domínio é todo
porque
sempre.