Encontre a solução geral das seguintes Equações diferenciais ordinárias lineares de 1{ }^{\text {a }} ordem:
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}+2 x y=1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
(1+x^{2})\,y'(x)+2x\,y(x)=1.
Informações fornecidas:
  • A equação é de primeira ordem e linear em y.
  • Os coeficientes dependem de x: o coeficiente de y' é 1+x^{2} e o coeficiente de y é 2x.
    O que se pede: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação para x real.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de equação linear de primeira ordem:
y'(x)+p(x)\,y(x)=q(x).
Para isso dividimos toda a equação por 1+x^{2} (que nunca é zero, pois 1+x^{2}>0 para todo x). Ao dividir, obtemos
y'(x)+\frac{2x}{1+x^{2}}\,y(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Logo identificamos
p(x)=\frac{2x}{1+x^{2}},\qquad q(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 3

Explicando o método do fator integrante (intenções e fórmulas):
  • A ideia é multiplicar a equação padrão por uma função \mu(x) (o fator integrante) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y(x).
  • Queremos \mu(x) satisfazendo
\mu(x)\bigl(y'(x)+p(x)y(x)\bigr)=\bigl(\mu(x)y(x)\bigr)'=\mu(x)y'(x)+\mu'(x)y(x).
  • Comparando os dois lados, precisamos que \mu'(x)=\mu(x)p(x). Isso dá a equação diferencial para \mu:
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=p(x).
  • Integrando, obtemos a fórmula prática do fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Essa \mu torna a equação multiplicada exatamente integrável.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x) usando p(x)=\dfrac{2x}{1+x^{2}}:
\int p(x)\,dx=\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Aqui é útil perceber que a derivada de 1+x^{2} é 2x, então essa integral é um logaritmo:
\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx=\ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr)+C_{\text{int}}.
Tomando a exponencial e desprezando a constante multiplicativa (pois o fator integrante pode ser multiplicado por constantes sem alterar a solução geral), escolhemos
\mu(x)=e^{\ln(1+x^{2})}=1+x^{2}.

Passo 5

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=1+x^{2}. Começando da forma dividida:
y'(x)+\frac{2x}{1+x^{2}}\,y(x)=\frac{1}{1+x^{2}},
multiplicando por 1+x^{2} obtemos a equação original reescrita como
(1+x^{2})y'(x)+2x\,y(x)=1.
Agora reconhecemos que o lado esquerdo é exatamente a derivada de (1+x^{2})y(x), porque
\bigl((1+x^{2})y(x)\bigr)'=(1+x^{2})y'(x)+2x\,y(x).
Portanto a equação fica
\bigl((1+x^{2})y(x)\bigr)'=1.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \bigl((1+x^{2})y(x)\bigr)'\,dx=\int 1\,dx.
A integral do lado esquerdo dá (1+x^{2})y(x) e a do direito dá x mais constante de integração C. Assim
(1+x^{2})y(x)=x+C,
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 7

Isolar y(x) para obter a solução geral:
y(x)=\frac{x+C}{1+x^{2}}.
Como forma alternativa pode-se escrever
y(x)=\frac{x}{1+x^{2}}+\frac{C}{1+x^{2}},
mostrando a soma de uma solução particular \dfrac{x}{1+x^{2}} e da família de soluções da homogênea \dfrac{C}{1+x^{2}}. O domínio é todo \mathbb{R} porque 1+x^{2}>0 sempre.

Resposta

y(x)=\frac{x+C}{1+x^{2}}

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