Encontre a solução geral das seguintes Equações diferenciais ordinárias lineares de
ordem:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O problema é a equação diferencial linear de primeira ordem
O que se pede: encontrar a solução geral
. Informação relevante fornecida:
- O coeficiente de
é . - O termo do lado direito é
.
Observação importante (da própria equação): as expressões comenvolvidas indicam que devemos trabalhar em intervalos onde (pois aí as manipulações com e divisão por fazem sentido). A resolução começará aplicando o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Relembrando o método do fator integrante de forma didática e simples. Para uma equação linear de primeira ordem na forma
o fator integrante
é definido por
Depois de multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada do produto
:
Então integra-se ambos os lados para obter
, e finalmente
.
Aqui, em nossa equação, temos
Aqui, em nossa equação, temos
Vou aplicar esse procedimento.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Usando
,
Sabendo que
, obtemos
Usando a propriedade da exponencial
, e como
, temos
Nota: aqui é por isso que precisamos de intervalos onde
; caso contrário
não está definido.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso:
Simplificando o segundo termo à esquerda:
Agora reconheça que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
Portanto a equação fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
. Façamos isso passo a passo de forma bem didática.
Passo 6
Calcular
. Use a identidade
. Então
Para
é direto:
Para
faça a substituição
, então
. Assim
Portanto
Passo 7
Substituir o resultado da integral na expressão obtida em Passo 5:
Agora isole
dividindo por
:
Passo 8
Apresentar a solução de forma um pouco mais organizada e, se desejar, em termos de funções trigonométricas recíprocas. Podemos escrever
pois
e
. Ambas as formas são equivalentes à forma obtida no passo anterior. Lembrando sempre: a solução é válida em intervalos onde
.