Encontre a solução geral das seguintes Equações diferenciais ordinárias lineares de 1{ }^{\text {a }} ordem:
y^{\prime}+\frac{2 \cos x}{\sin x} y=\sin x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O problema é a equação diferencial linear de primeira ordem
y'+\frac{2\cos x}{\sin x}\,y=\sin x.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x). Informação relevante fornecida:
  • O coeficiente de y é \dfrac{2\cos x}{\sin x}.
  • O termo do lado direito é \sin x.
    Observação importante (da própria equação): as expressões com \sin x envolvidas indicam que devemos trabalhar em intervalos onde \sin x\neq0 (pois aí as manipulações com \ln|\sin x| e divisão por \sin x fazem sentido). A resolução começará aplicando o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Relembrando o método do fator integrante de forma didática e simples. Para uma equação linear de primeira ordem na forma
y'+P(x)\,y=Q(x),
o fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Depois de multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)Q(x).
Então integra-se ambos os lados para obter \mu(x)y=\int \mu(x)Q(x)\,dx + C, e finalmente y=\dfrac{1}{\mu(x)}\Big(\int \mu(x)Q(x)\,dx + C\Big).
Aqui, em nossa equação, temos
P(x)=\frac{2\cos x}{\sin x}=2\cot x,\qquad Q(x)=\sin x.
Vou aplicar esse procedimento.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). Usando P(x)=2\cot x,
\mu(x)=\exp\!\left(\int 2\cot x\,dx\right).
Sabendo que \int \cot x\,dx=\ln|\sin x|, obtemos
\mu(x)=\exp\!\big(2\ln|\sin x|\big).
Usando a propriedade da exponencial \exp(2\ln|a|)=|a|^2, e como |\sin x|^2=\sin^2 x, temos
\mu(x)=\sin^2 x.
Nota: aqui é por isso que precisamos de intervalos onde \sin x\neq0; caso contrário \ln|\sin x| não está definido.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=\sin^2 x. Fazendo isso:
\sin^2 x\,y' + \sin^2 x\cdot\frac{2\cos x}{\sin x}\,y = \sin^2 x\cdot\sin x.
Simplificando o segundo termo à esquerda:
\sin^2 x\,y' + 2\sin x\cos x\,y = \sin^3 x.
Agora reconheça que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \sin^2 x\cdot y, porque
\frac{d}{dx}\big(\sin^2 x\cdot y\big)=2\sin x\cos x\cdot y + \sin^2 x\cdot y'.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big(\sin^2 x\cdot y\big)=\sin^3 x.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\sin^2 x\cdot y=\int \sin^3 x\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral \int \sin^3 x\,dx. Façamos isso passo a passo de forma bem didática.

Passo 6

Calcular \int \sin^3 x\,dx. Use a identidade \sin^3 x=\sin x(1-\cos^2 x). Então
\int \sin^3 x\,dx=\int \sin x\,dx - \int \sin x\cos^2 x\,dx.
Para \int \sin x\,dx é direto:
\int \sin x\,dx = -\cos x.
Para \int \sin x\cos^2 x\,dx faça a substituição u=\cos x, então du=-\sin x\,dx. Assim
\int \sin x\cos^2 x\,dx = -\int u^2\,du = -\frac{u^3}{3} = -\frac{\cos^3 x}{3}.
Portanto
\int \sin^3 x\,dx = -\cos x -\left(-\frac{\cos^3 x}{3}\right) = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3}.

Passo 7

Substituir o resultado da integral na expressão obtida em Passo 5:
\sin^2 x\cdot y = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C.
Agora isole y dividindo por \sin^2 x:
y(x)=\frac{-\cos x + \dfrac{\cos^3 x}{3} + C}{\sin^2 x}.

Passo 8

Apresentar a solução de forma um pouco mais organizada e, se desejar, em termos de funções trigonométricas recíprocas. Podemos escrever
y(x)=-\cot x + \frac{1}{3}\,\frac{\cos^3 x}{\sin^2 x} + C\,\csc^2 x,
pois \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e \csc^2 x=\dfrac{1}{\sin^2 x}. Ambas as formas são equivalentes à forma obtida no passo anterior. Lembrando sempre: a solução é válida em intervalos onde \sin x\neq0.

Resposta

y(x)=\frac{-\cos x + \dfrac{\cos^3 x}{3} + C}{\sin^2 x}

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