Encontre a solução geral das seguintes Equações diferenciais ordinárias lineares de 1{ }^{\text {a }} ordem: x y^{\prime}+\frac{y}{x+1}=\frac{x+1}{x}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de primeira ordem
x\,y'(x)+\frac{y(x)}{x+1}=\frac{x+1}{x},
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação envolve coeficientes com x e x+1, portanto há pontos onde a equação é singular: x=0 (pois aparece x multiplicando y' e no denominador do lado direito) e x=-1 (pois aparece x+1 no denominador). Logo a solução será válida em intervalos que não contenham 0 nem -1.
Precisamos encontrar a solução geral y(x) para x\neq0 e x\neq-1.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem y'+P(x)y=Q(x). Para isso dividimos ambos os lados por x (assumindo x\neq0):
Para evitar complicação com sinais podemos tomar, em cada intervalo onde o sinal é fixo, \mu(x)=\dfrac{x}{x+1} (o sinal absoluto pode ser absorvido na constante de integração mais adiante).
Passo 5
Multiplicar a equação na forma padrão por \mu(x)=\dfrac{x}{x+1}. A equação original transformada era
A solução encontrada vale para intervalos onde x\neq0 e x\neq-1; isto é, em cada intervalo conectado que não contenha 0 nem -1 (por exemplo (-\infty,-1), (-1,0), (0,\infty)), a fórmula com uma constante C arbitrary fornece a família de soluções.
O sinal absoluto em \ln|x| e na definição de \mu já foi tratado; qualquer escolha de ramo de sinal corresponde apenas a ajustar a constante C.