Encontre a solução geral das seguintes Equações diferenciais ordinárias lineares de 1{ }^{\text {a }} ordem:
x y^{\prime}+\frac{y}{x+1}=\frac{x+1}{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de primeira ordem
x\,y'(x)+\frac{y(x)}{x+1}=\frac{x+1}{x},
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação envolve coeficientes com x e x+1, portanto há pontos onde a equação é singular: x=0 (pois aparece x multiplicando y' e no denominador do lado direito) e x=-1 (pois aparece x+1 no denominador). Logo a solução será válida em intervalos que não contenham 0 nem -1.
  • Precisamos encontrar a solução geral y(x) para x\neq0 e x\neq-1.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem y'+P(x)y=Q(x). Para isso dividimos ambos os lados por x (assumindo x\neq0):
y'(x)+\frac{1}{x(x+1)}\,y(x)=\frac{x+1}{x^2}.
Aqui definimos
P(x)=\frac{1}{x(x+1)},\qquad Q(x)=\frac{x+1}{x^2}.

Passo 3

Explicar o método do fator integrante (integrating factor). Para uma equação da forma
y'+P(x)y=Q(x),
o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
A razão é que, multiplicando a equação por \mu(x), a parte esquerda se torna a derivada do produto \mu(x)y(x):
\mu y'+\mu P y=(\mu y)'.
Depois integra-se ambos os lados para obter \mu y=\int \mu Q\,dx + C.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x). Primeiro integrar P(x)=\dfrac{1}{x(x+1)}. Fazemos frações parciais:
\frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}.
Multiplicando por x(x+1) obtemos 1=A(x+1)+Bx. Igualando coeficientes:
1=(A+B)x + A \quad\Rightarrow\quad A=1,\; A+B=0 \Rightarrow B=-1.
Logo
\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}.
Integrando:
\int P(x)\,dx=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\,dx=\ln|x|-\ln|x+1|=\ln\!\left|\frac{x}{x+1}\right|.
Portanto o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\ln\!\left|\frac{x}{x+1}\right|\right)=\left|\frac{x}{x+1}\right|.
Para evitar complicação com sinais podemos tomar, em cada intervalo onde o sinal é fixo, \mu(x)=\dfrac{x}{x+1} (o sinal absoluto pode ser absorvido na constante de integração mais adiante).

Passo 5

Multiplicar a equação na forma padrão por \mu(x)=\dfrac{x}{x+1}. A equação original transformada era
y'+\frac{1}{x(x+1)}y=\frac{x+1}{x^2}.
Multiplicando por \dfrac{x}{x+1}
\frac{x}{x+1}\,y' + \frac{x}{x+1}\cdot\frac{1}{x(x+1)}\,y = \frac{x}{x+1}\cdot\frac{x+1}{x^2}.
A parte da esquerda é exatamente a derivada (\mu y)'. Simplificando o lado direito:
\frac{x}{x+1}\cdot\frac{x+1}{x^2}=\frac{1}{x}.
Logo obtemos a equação simples
\left(\frac{x}{x+1}\,y\right)'=\frac{1}{x}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
\frac{x}{x+1}\,y=\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração. Agora isolamos y:
y(x)=\frac{x+1}{x}\,\bigl(\ln|x|+C\bigr).
Podemos escrever de forma expandida se preferir:
y(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)\ln|x|+C\left(1+\frac{1}{x}\right).

Passo 7

Comentários finais sobre domínio e constante:
  • A solução encontrada vale para intervalos onde x\neq0 e x\neq-1; isto é, em cada intervalo conectado que não contenha 0 nem -1 (por exemplo (-\infty,-1), (-1,0), (0,\infty)), a fórmula com uma constante C arbitrary fornece a família de soluções.
  • O sinal absoluto em \ln|x| e na definição de \mu já foi tratado; qualquer escolha de ramo de sinal corresponde apenas a ajustar a constante C.

Resposta

y(x)=\frac{x+1}{x}\,\bigl(\ln|x|+C\bigr),\qquad C\in\mathbb{R},\quad x\neq0,\;x\neq-1

Exercícios relacionados