Encontre a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem lineares homogêneos com coeficientes constantes: X^{\prime}(t)=A X(t), onde X(t) representa um vetor coluna de n coordenadas x_{j}(t) onde n é a ordem da matriz A do sistema. [Lembre que quando existe uma base de autovetores de A e os autovalores são reais, a solução geral pode ser escrita como X(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t} v_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} v_{2}+\ldots+c_{n} e^{\lambda_{n} t} v_{n}, onde os v_{j} são os autovetores associados aos autovalores \lambda_{j}. Quando não existe uma base formada por autovetores de A, estes devem ser completados com autovetores generalizados para gerar as soluções L.I. que faltam].
X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{rr}1 & 9 \\\\ -1 & -5\end{array}\right) X(t).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo de primeira ordem
X'(t)=A\,X(t)
com
A=\begin{pmatrix}1&9\\\ -1&-5\end{pmatrix}.
O método geral envolve achar os autovalores e autovetores de A; se não houver base completa de autovetores usamos autovetores generalizados para montar a solução em forma de cadeia de Jordan.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)(-5-\lambda)-9\cdot(-1) =\lambda^2+4\lambda+4=(\lambda+2)^2.
Portanto existe autovalor real duplo \lambda=-2.

Passo 3

Buscamos um autovetor v_1 associado a \lambda=-2, ou seja, solução não-nula de
(A+2I)v_1=0.
Temos
A+2I=\begin{pmatrix}3&9\\\ -1&-3\end{pmatrix},
daí a equação 3x+9y=0 x=-3y. Podemos escolher
v_1=\begin{pmatrix}-3\\\ 1\end{pmatrix}.
Como a multiplicidade geométrica é 1, precisamos de um autovetor generalizado.

Passo 4

Procuramos v_2 tal que
(A+2I)v_2=v_1.
Isto gera o sistema
\begin{pmatrix}3&9\\\ -1&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3\\\ 1\end{pmatrix},
que reduz a a+3b=-1. Tomando b=0 obtemos a=-1, logo
v_2=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Para a cadeia de Jordan de tamanho 2 com autovalor \lambda=-2, a solução geral é
X(t)=c_1e^{-2t}v_1+c_2\Bigl(e^{-2t}(v_2+t\,v_1)\Bigr).
Substituindo v_1 e v_2,
X(t) =c_1e^{-2t}\begin{pmatrix}-3\\\ 1\end{pmatrix} +c_2e^{-2t}\Bigl(\begin{pmatrix}-1\\\ 0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-3\\\ 1\end{pmatrix}\Bigr).

Resposta

\boxed{ X(t)=c_1e^{-2t}\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\end{pmatrix} +c_2e^{-2t}\left(\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\end{pmatrix}\right), }
onde c_1 e c_2 s~ao constantes arbitr’arias.]

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