Encontre a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem lineares homogêneos com coeficientes constantes: X^{\prime}(t)=A X(t), onde X(t) representa um vetor coluna de n coordenadas x_{j}(t) onde n é a ordem da matriz A do sistema. [Lembre que quando existe uma base de autovetores de A e os autovalores são reais, a solução geral pode ser escrita como X(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t} v_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} v_{2}+\ldots+c_{n} e^{\lambda_{n} t} v_{n}, onde os v_{j} são os autovetores associados aos autovalores \lambda_{j}. Quando não existe uma base formada por autovetores de A, estes devem ser completados com autovetores generalizados para gerar as soluções L.I. que faltam].
X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 3 & 1\end{array}\right) X(t).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo de primeira ordem
X'(t)=A\,X(t),
onde
A=\begin{pmatrix}1&3\\\ 3&1\end{pmatrix},
e X(t) é o vetor coluna \bigl(x_1(t),x_2(t)\bigr)^T.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares com coeficientes constantes via autovalores e autovetores, aproveitando que A é diagonalizável porque é simétrica e tem autovalores reais distintos.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda&3\\\ 3&1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^2-3\cdot3 =\lambda^2-2\lambda-8.
As raízes são
\lambda^2-2\lambda-8=0 \implies\lambda_1=4,\quad \lambda_2=-2.

Passo 3

Para cada autovalor, achamos o autovetor não-nulo:
  1. Para \lambda_1=4, resolvemos
(A-4I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-3&3\\\ 3&-3\end{pmatrix}v=0,
daí podemos escolher v_1=(1,1)^T.
  1. Para \lambda_2=-2, resolvemos
(A+2I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}3&3\\\ 3&3\end{pmatrix}v=0,
e uma opção é v_2=(1,-1)^T.
Os vetores v_1 e v_2 são linearmente independentes e formam base de autovetores.

Passo 4

Cada par \bigl(\lambda_j,v_j\bigr) gera uma solução
\displaystyle X_j(t)=e^{\lambda_j t}v_j. Como temos dois pares independentes, a solução geral é
X(t)=c_1 e^{4t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} +c_2 e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
com c_1,c_2 constantes arbitrárias.

Resposta

X(t)=c_1 e^{4t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} +c_2 e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
onde c_1 e c_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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