Encontre a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem lineares homogêneos com coeficientes constantes: X^{\prime}(t)=A X(t), onde X(t) representa um vetor coluna de n coordenadas x_{j}(t) onde n é a ordem da matriz A do sistema. [Lembre que quando existe uma base de autovetores de A e os autovalores são reais, a solução geral pode ser escrita como X(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t} v_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} v_{2}+\ldots+c_{n} e^{\lambda_{n} t} v_{n}, onde os v_{j} são os autovetores associados aos autovalores \lambda_{j}. Quando não existe uma base formada por autovetores de A, estes devem ser completados com autovetores generalizados para gerar as soluções L.I. que faltam]. X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 3 & 1\end{array}\right) X(t).
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo de primeira ordem
X'(t)=A\,X(t),
onde
A=\begin{pmatrix}1&3\\\ 3&1\end{pmatrix},
e X(t) é o vetor coluna \bigl(x_1(t),x_2(t)\bigr)^T.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares com coeficientes constantes via autovalores e autovetores, aproveitando que A é diagonalizável porque é simétrica e tem autovalores reais distintos.