Encontre a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem lineares homogêneos com coeficientes constantes: X^{\prime}(t)=A X(t), onde X(t) representa um vetor coluna de n coordenadas x_{j}(t) onde n é a ordem da matriz A do sistema. [Lembre que quando existe uma base de autovetores de A e os autovalores são reais, a solução geral pode ser escrita como X(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t} v_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} v_{2}+\ldots+c_{n} e^{\lambda_{n} t} v_{n}, onde os v_{j} são os autovetores associados aos autovalores \lambda_{j}. Quando não existe uma base formada por autovetores de A, estes devem ser completados com autovetores generalizados para gerar as soluções L.I. que faltam].
X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{rr}2 & -1 \\\\ 1 & 4\end{array}\right) X(t).

Passo 1

Resumindo, queremos resolver o sistema linear homogêneo de primeira ordem
X'(t)=A\,X(t),\qquad A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[6pt]1 & 4\end{pmatrix}.
O método consiste em achar os autovalores de A, seus autovetores e, se necessário, autovetores generalizados, para construir a solução geral.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1\\[4pt]1 & 4-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(4-\lambda)+1 =\lambda^2-6\lambda+9 =(\lambda-3)^2.
Logo o único autovalor é \lambda=3 com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Buscamos os autovetores de \lambda=3 resolvendo
(A-3I)v =\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}v =0 \quad\Longrightarrow\quad v_1+v_2=0.
Tomamos como autovetor
v=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Como só há um autovetor, precisamos de um autovetor generalizado w tal que
(A-3I)w=v.
Uma escolha conveniente é
w=\begin{pmatrix}0\\\ -1\end{pmatrix},
pois verifica (A-3I)w=v.]

Passo 4

As duas soluções fundamentais do sistema são
X_1(t)=e^{3t}\,v, \qquad X_2(t)=e^{3t}\bigl(t\,v + w\bigr).
Portanto a solução geral é
X(t) =C_1\,e^{3t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} +C_2\,e^{3t}\Bigl(t\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\ -1\end{pmatrix}\Bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

X(t) =C_1\,e^{3t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} +C_2\,e^{3t}\Bigl(t\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\ -1\end{pmatrix}\Bigr).

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