Encontre a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem lineares homogêneos com coeficientes constantes: X^{\prime}(t)=A X(t), onde X(t) representa um vetor coluna de n coordenadas x_{j}(t) onde n é a ordem da matriz A do sistema. [Lembre que quando existe uma base de autovetores de A e os autovalores são reais, a solução geral pode ser escrita como X(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t} v_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} v_{2}+\ldots+c_{n} e^{\lambda_{n} t} v_{n}, onde os v_{j} são os autovetores associados aos autovalores \lambda_{j}. Quando não existe uma base formada por autovetores de A, estes devem ser completados com autovetores generalizados para gerar as soluções L.I. que faltam].
X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) X(t).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema
X'(t)=A\,X(t),
onde
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
é constante.
O método envolve encontrar autovalores e autovetores de A. Se não houver base completa de autovetores (caso de multiplicidade geométrica menor que a algébrica), precisamos de autovetores generalizados e, então, montar as soluções fundamentais no formato de cadeias de Jordan.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\!\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 1\\\\ 0 & 1-\lambda & 0\\\\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)^{3}.
Logo há um único autovalor \lambda=1 de multiplicidade algébrica 3.

Passo 3

Encontramos o espaço próprio associado a \lambda=1 resolvendo
(A-I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\v_{3}\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; v_{3}=0.
Isso dá o espaço próprio \{(v_{1},v_{2},0)\}, de dimensão 2. Por exemplo, escolhemos dois autovetores independentes
v^{(1)}=(1,0,0)^{T}, \quad v^{(2)}=(0,1,0)^{T}.

Passo 4

Como a dimensão do espaço próprio é 2 mas a multiplicidade algébrica é 3, falta um vetor para completar a base. Buscamos um vetor generalizado w que satisfaça
(A-I)\,w = v^{(1)}.
Seja w=(w_{1},w_{2},w_{3})^{T}. Da equação
(A-I)w =\begin{pmatrix}0&0&1\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_{1}\w_{2}\w_{3}\end{pmatrix} =(w_{3},0,0)^{T} \stackrel{!}{=}(1,0,0)^{T},
vem w_{3}=1, e w_{1},w_{2} ficam livres (podemos tomá-los nulos). Assim escolhemos
w=(0,0,1)^{T}.

Passo 5

Agora montamos três soluções fundamentais ligadas à cadeia de Jordan de comprimento 2 para \lambda=1 e a um autovetor isolado:
  1. A partir de v^{(1)}:
X^{(1)}(t)=e^{t}\,v^{(1)} =e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
  1. A partir da cadeia (v^{(1)},\,w):
X^{(2)}(t) =e^{t}\bigl(t\,v^{(1)}+w\bigr) =e^{t}\begin{pmatrix}t\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
  1. A partir de v^{(2)}:
X^{(3)}(t)=e^{t}\,v^{(2)} =e^{t}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Essas três soluções são linearmente independentes e formam uma base de soluções do sistema.

Resposta

A solução geral é
X(t) =c_{1}\,e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} +c_{2}\,e^{t}\begin{pmatrix}t\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} +c_{3}\,e^{t}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},
com c_{1},c_{2},c_{3} constantes arbitrárias.

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