Encontre a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem lineares homogêneos com coeficientes constantes: X^{\prime}(t)=A X(t), onde X(t) representa um vetor coluna de n coordenadas x_{j}(t) onde n é a ordem da matriz A do sistema. [Lembre que quando existe uma base de autovetores de A e os autovalores são reais, a solução geral pode ser escrita como X(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t} v_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} v_{2}+\ldots+c_{n} e^{\lambda_{n} t} v_{n}, onde os v_{j} são os autovetores associados aos autovalores \lambda_{j}. Quando não existe uma base formada por autovetores de A, estes devem ser completados com autovetores generalizados para gerar as soluções L.I. que faltam]. X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) X(t).
é constante.
O método envolve encontrar autovalores e autovetores de A. Se não houver base completa de autovetores (caso de multiplicidade geométrica menor que a algébrica), precisamos de autovetores generalizados e, então, montar as soluções fundamentais no formato de cadeias de Jordan.
Isso dá o espaço próprio \{(v_{1},v_{2},0)\}, de dimensão 2. Por exemplo, escolhemos dois autovetores independentes
v^{(1)}=(1,0,0)^{T}, \quad v^{(2)}=(0,1,0)^{T}.
Passo 4
Como a dimensão do espaço próprio é 2 mas a multiplicidade algébrica é 3, falta um vetor para completar a base. Buscamos um vetor generalizado w que satisfaça