Encontre a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem lineares homogêneos com coeficientes constantes: X^{\prime}(t)=A X(t), onde X(t) representa um vetor coluna de n coordenadas x_{j}(t) onde n é a ordem da matriz A do sistema. [Lembre que quando existe uma base de autovetores de A e os autovalores são reais, a solução geral pode ser escrita como X(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t} v_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} v_{2}+\ldots+c_{n} e^{\lambda_{n} t} v_{n}, onde os v_{j} são os autovetores associados aos autovalores \lambda_{j}. Quando não existe uma base formada por autovetores de A, estes devem ser completados com autovetores generalizados para gerar as soluções L.I. que faltam].
X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 2\end{array}\right) X(t).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de equações diferenciais lineares homogêneo
X'(t)=A\,X(t),
onde
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & 2\end{pmatrix},
usando autovalores e autovetores de A. Para isso, precisamos calcular o polinômio característico de A, encontrar seus autovalores reais, determinar os autovetores associados e, finalmente, combinar as soluções exponenciais para obter a forma geral de X(t).

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\\ 3 & 2-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(2-\lambda)-6 =\lambda^2-3\lambda-4.
Resolvendo \lambda^2-3\lambda-4=0 por Bhaskara,
\lambda = \frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2} =\frac{3\pm5}{2},
obtemos os autovalores
\lambda_1=4 e \lambda_2=-1.

Passo 3

Determinar o autovetor v_1 associado a \lambda_1=4. Resolvemos
(A-4I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}-3 & 2\\\ 3 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira equação -3x+2y=0 vem y=\tfrac{3}{2}x. Escolhendo x=2, temos
v_1 = \begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Determinar o autovetor v_2 associado a \lambda_2=-1. Resolvemos
(A+I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}2 & 2\\\ 3 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira equação 2x+2y=0 vem y=-x. Escolhendo x=1, obtemos
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 5

Como temos dois autovalores reais e independentes, a solução geral do sistema é
X(t) = c_{1}\,e^{\lambda_{1}t}\,v_{1} + c_{2}\,e^{\lambda_{2}t}\,v_{2}.
Substituindo \lambda_{1}=4, \lambda_{2}=-1, v_{1}=(2,3)^{T} e v_{2}=(1,-1)^{T},
X(t) = c_{1}\,e^{4t}\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} + c_{2}\,e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.

Resposta

X(t) = c_{1}\,e^{4t}\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} + c_{2}\,e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
com c_{1},c_{2}\in\mathbb{R} constantes arbitrárias.

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