Encontre a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem lineares homogêneos com coeficientes constantes: X^{\prime}(t)=A X(t), onde X(t) representa um vetor coluna de n coordenadas x_{j}(t) onde n é a ordem da matriz A do sistema. [Lembre que quando existe uma base de autovetores de A e os autovalores são reais, a solução geral pode ser escrita como X(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t} v_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} v_{2}+\ldots+c_{n} e^{\lambda_{n} t} v_{n}, onde os v_{j} são os autovetores associados aos autovalores \lambda_{j}. Quando não existe uma base formada por autovetores de A, estes devem ser completados com autovetores generalizados para gerar as soluções L.I. que faltam]. X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\\\ -1 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) X(t), \quad X(0)=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo de primeira ordem com coeficientes constantes
e condição inicial X(0)=(1,1,1)^T.
O conteúdo necessário é a teoria de autovalores e autovetores, e, no caso de autovalor de multiplicidade maior que a dimensão da base de autovetores (caso defectivo), usar vetores generalizados e a forma de solução via cadeia de Jordan.
Passo 2
Analisamos o bloco 2\times2 que atua sobre (x_1,x_2). Seu polinômio característico é