Encontre a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem lineares homogêneos com coeficientes constantes: X^{\prime}(t)=A X(t), onde X(t) representa um vetor coluna de n coordenadas x_{j}(t) onde n é a ordem da matriz A do sistema. [Lembre que quando existe uma base de autovetores de A e os autovalores são reais, a solução geral pode ser escrita como X(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t} v_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} v_{2}+\ldots+c_{n} e^{\lambda_{n} t} v_{n}, onde os v_{j} são os autovetores associados aos autovalores \lambda_{j}. Quando não existe uma base formada por autovetores de A, estes devem ser completados com autovetores generalizados para gerar as soluções L.I. que faltam].
X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\\\ -1 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) X(t), \quad X(0)=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo de primeira ordem com coeficientes constantes
X'(t)=A\,X(t),\quad A=\begin{pmatrix}0&1&0\\\ -1&-2&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix},
e condição inicial X(0)=(1,1,1)^T.
O conteúdo necessário é a teoria de autovalores e autovetores, e, no caso de autovalor de multiplicidade maior que a dimensão da base de autovetores (caso defectivo), usar vetores generalizados e a forma de solução via cadeia de Jordan.

Passo 2

Analisamos o bloco 2\times2 que atua sobre (x_1,x_2). Seu polinômio característico é
\det\bigl(\begin{smallmatrix}-\lambda&1\\\ -1&-2-\lambda\end{smallmatrix}\bigr) =\lambda^2+2\lambda+1=(\lambda+1)^2,
logo há um único autovalor \lambda=-1 de multiplicidade algébrica 2.
O espaço próprio satisfaz
(A+I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1&1\\\ -1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0
que dá a família v=(1,-1)^T. Como a multiplicidade geométrica é 1 (defectivo), precisamos de um vetor generalizado w tal que
(A+I)w=v.
Escolhendo w=(1,0)^T verifica-se (A+I)w=(1,1)\cdot(1,0)^T=(1,-1)^T=v.

Passo 3

Para o componente x_3 o sistema se separa: x_3'=1\cdot x_3, cuja solução geral é x_3(t)=c_3e^{t}.
Para (x_1,x_2) a resolução via cadeia de Jordan fornece duas soluções linearmente independentes:
e^{-t}v \quad\text{e}\quad t\,e^{-t}v + e^{-t}w.
Assim a solução geral do sistema completo é
X(t)=c_1\,e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} + c_2\Bigl(t\,e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}+e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\Bigr) + c_3\,e^{t}\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial X(0)=(1,1,1)^T. Em t=0 temos
X(0) = c_1\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + c_3\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}c_1+c_2\\\ -c_1\c_3\end{pmatrix} \stackrel!=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Dessas equações segue
-c_1=1\quad\Longrightarrow\quad c_1=-1, \quad c_1+c_2=1\quad\Longrightarrow\quad c_2=2, \quad c_3=1.

Passo 5

Substituindo c_1=-1, c_2=2, c_3=1 na solução geral, obtemos
x_1(t) =-e^{-t}\cdot1 + 2\bigl(te^{-t}\cdot1 + e^{-t}\cdot1\bigr) =e^{-t}(1+2t),
x_2(t) =-(-e^{-t}) + 2\bigl(te^{-t}\cdot(-1) + 0\bigr) =e^{-t}(1-2t),
x_3(t)=e^{t}.

Resposta

X(t)=\begin{pmatrix} e^{-t}(1+2t)\\[6pt] e^{-t}(1-2t)\\[6pt] e^{t} \end{pmatrix}]

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