Encontre a solução geral do sistema dado.
Passo 1
O exercício consiste em encontrar a solução geral do sistema de EDOs lineares de primeira ordem dado por
e
. O conteúdo aqui é sistemas lineares com coeficientes constantes, e vamos usar a teoria de autovalores e autovetores.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial
, onde
e
Passo 3
Procuramos os autovalores de
resolvendo o polinômio característico
. Calculando:
Passo 4
As raízes são
Passo 5
Agora vamos achar um autovetor associado a
. Resolvendo
dá o sistema
Passo 6
Da primeira equação
temos
. Escolhendo
, um autovetor é
Passo 7
A solução complexa geral é
. Para obter soluções reais, escrevemos
Passo 8
Extraindo a parte real e a imaginária, obtemos duas soluções fundamentais reais:
Passo 9
Com essas duas soluções fundamentais, a solução geral do sistema é a combinação linear delas.
Resposta
A solução geral é
onde
e
são constantes arbítrias.