Encontre a solução geral do sistema dado.
d xd t=5 x+y
d yd t=-2 x+3 y

Passo 1

O exercício consiste em encontrar a solução geral do sistema de EDOs lineares de primeira ordem dado por dot x=5x+y e dot y=-2x+3y. O conteúdo aqui é sistemas lineares com coeficientes constantes, e vamos usar a teoria de autovalores e autovetores.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial dotx=Ax, onde x=(x,y)^T e
A=5 & 1-2 & 3

Passo 3

Procuramos os autovalores de A resolvendo o polinômio característico det(A-lambda I)=0. Calculando:
det5-lambda & 1-2 & 3-lambda=(5-lambda)(3-lambda)+2=lambda^2-8lambda+17=0

Passo 4

As raízes são
lambda=8pmraiz64-682=4pm i

Passo 5

Agora vamos achar um autovetor associado a lambda=4+i. Resolvendo (A-(4+i)I)v=0 dá o sistema
1-i & 1-2 & -1-iuv=0

Passo 6

Da primeira equação (1-i)u+v=0 temos v=-(1-i)u=(-1+i)u. Escolhendo u=1, um autovetor é
v=1-1+i

Passo 7

A solução complexa geral é x(t)=ve^(4+i)t. Para obter soluções reais, escrevemos
ve^(4+i)t=e^4tve^it=e^4t1-1+i(cos t+isin t)

Passo 8

Extraindo a parte real e a imaginária, obtemos duas soluções fundamentais reais:
x1(t)=e^4tcos t-l(cos t+sin tr),x2(t)=e^4tsin tcos t-sin t

Passo 9

Com essas duas soluções fundamentais, a solução geral do sistema é a combinação linear delas.

Resposta

A solução geral é
x(t)=C1e^4tcos t-l(cos t+sin tr)+C2e^4tsin tcos t-sin t,
onde C1 e C2 são constantes arbítrias.

Exercícios relacionados