Scja a funçāo f(x, y)=2 x^4+y^2-x^2-2 y.
(b) ( 15 pontos) Determine os valores de máximo e mínimo absolutos da função f restrita ao conjunto tildeR=(x, y) in R^2:-1 <= x <= 0 e 0 <= y <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos da função f(x,y)=2x^4+y^2-x^2-2y num retângulo fechado tilde R =(x,y):-1<= x<=0,,0<= y<=2. Para isso vamos usar o teorema de Weierstrass: procurar pontos críticos no interior e depois avaliar as fronteiras e vértices.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais. A derivada em relação a x é partial fpartial x=8x^3-2x e em relação a y é partial fpartial y=2y-2.

Passo 3

Para achar pontos críticos resolvemos 8x^3-2x=0 e 2y-2=0. Da segunda vem y=1. Da primeira sai 2x(4x^2-1)=0, logo x=0 ou x=pmtfrac12. Como x deve estar em [-1,0], só consideramos x=0 e x=-tfrac12. Assim os críticos internos são (0,1) e (-tfrac12,1).

Passo 4

Agora avaliamos f ao longo das quatro arestas do retângulo. Em x=-1, 0<= y<=2, temos g1(y)=f(-1,y)=1+y^2-2y=(y-1)^2, que varia de 0 (em y=1) até 1 (em y=0,2). Em x=0, g2(y)=y^2-2y varia de -1 (em y=1) até 0 (em y=0,2). Em y=0, h1(x)=2x^4-x^2 para -1<= x<=0 atinge -1/8 em x=-1/2 e 1 em x=-1. Em y=2, h2(x)=2x^4-x^2 tem os mesmos valores.

Passo 5

Reunindo tudo, os valores de f são: nos críticos f(0,1)=-1, f(-1/2,1)=-9/8; nas arestas e vértices surgem 0,,-1,,1,,-1/8. O menor valor é -9/8 e o maior é 1.

Resposta

O mínimo absoluto é f(-tfrac12,1)=-tfrac98 e o máximo absoluto é f(-1,0)=f(-1,2)=1.

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