Scja a funçāo
.
(b) ( 15 pontos) Determine os valores de máximo e mínimo absolutos da função
restrita ao conjunto
.
(b) ( 15 pontos) Determine os valores de máximo e mínimo absolutos da função
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos da função
num retângulo fechado
. Para isso vamos usar o teorema de Weierstrass: procurar pontos críticos no interior e depois avaliar as fronteiras e vértices.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais. A derivada em relação a
é
e em relação a
é
.
Passo 3
Para achar pontos críticos resolvemos
e
. Da segunda vem
. Da primeira sai
, logo
ou
. Como
deve estar em
, só consideramos
e
. Assim os críticos internos são
e
.
Passo 4
Agora avaliamos
ao longo das quatro arestas do retângulo. Em
,
, temos
, que varia de 0 (em
) até 1 (em
). Em
,
varia de
(em
) até 0 (em
). Em
,
para
atinge
em
e 1 em
. Em
,
tem os mesmos valores.
Passo 5
Reunindo tudo, os valores de
são: nos críticos
,
; nas arestas e vértices surgem
. O menor valor é
e o maior é
.
Resposta
O mínimo absoluto é
e o máximo absoluto é
.