Encontre a solução geral do sistema de equações.
X^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}-1 & -2 \\\\ 0 & -2\end{array}\right] X

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema homogêneo de EDOs com coeficientes constantes
X^{\prime} = A\,X,
once
A = \begin{pmatrix}-1 & -2\\[6pt]0 & -2\end{pmatrix}.
O conteúdo é solução de sistemas lineares por autovalores e autovetores. Vamos encontrar os autovalores de A, depois os autovetores, e então montar a solução geral como combinação linear de soluções elementares.]

Passo 2

Calculamos os autovalores de A resolvendo
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-1-\lambda & -2\\[3pt]0 & -2-\lambda\end{pmatrix} = (-1-\lambda)(-2-\lambda)=0.
Logo os autovalores são
\lambda_{1} = -1, \qquad \lambda_{2} = -2.]

Passo 3

Para cada autovalor \lambda resolvemos (A - \lambda I)v=0.
Para \lambda_{1}=-1:
(A+I)v = \begin{pmatrix}0 & -2\\[3pt]0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\;v_{2}=0,
escolhemos v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=-2:
(A+2I)v = \begin{pmatrix}1 & -2\\[3pt]0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\;v_{1}=2v_{2},
escolhemos v^{(2)}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Como \lambda_{1} e \lambda_{2} são distintos, a solução geral é
X(t) = C_{1}\,e^{\lambda_{1}t}\,v^{(1)} \; + \; C_{2}\,e^{\lambda_{2}t}\,v^{(2)} = C_{1}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} + C_{2}e^{-2t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix},
once C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

X(t)=C_{1}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} + C_{2}e^{-2t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.

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