Encontre a solução geral do sistema de equações.
X^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}2 & -3 \\\\ 1 & -2\end{array}\right] X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo de ordem 1
X' = A\,X,
onde
A = \begin{pmatrix}2 & -3 \\\\ 1 & -2\end{pmatrix},
e X(t)\in\mathbb{R}^2. Para resolver, vamos usar o método de autovalores e autovetores: primeiro achamos os autovalores de A resolvendo \det(A-\lambda I)=0, depois obtemos os correspondentes autovetores e, por fim, montamos a solução geral como combinação linear de expoentes.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -3 \\\\ 1 & -2-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-3)\cdot1.
Expandindo,
(2-\lambda)(-2-\lambda)= -4 +\lambda^2,
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\det(A-\lambda I)=\lambda^2-4+3=\lambda^2-1.
Assim, as raízes são
\lambda^2-1=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\pm1.

Passo 3

Para cada autovalor encontramos um autovetor não nulo:
  1. Se \lambda=1, resolvemos
(A-I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1 & -3 \\\\ 1 & -3\end{pmatrix}v=0.
Da primeira linha vem x-3y=0, ou seja x=3y. Tomando y=1, um autovetor é
v_1=(3,1)^{T}.
  1. Se \lambda=-1, resolvemos
(A+I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}3 & -3 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix}v=0.
Da primeira linha vem 3x-3y=0, ou seja x=y. Tomando y=1, um autovetor é
v_2=(1,1)^{T}.

Passo 4

A solução geral do sistema é dada pela combinação linear dos modos exponenciais associados a cada autovalor e autovetor:
X(t) = C_{1}\,e^{1\cdot t}\,v_{1} + C_{2}\,e^{-1\cdot t}\,v_{2},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Substituindo v_{1} e v_{2}, obtemos
X(t) = C_{1}\,e^{t}\begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

X(t) = C_{1}\,e^{t}\begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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