Exercício 5. Considere o seguinte problema de valor inicial
em que
é o teor de material orgânico que pode ser aproveitado pelas bactérias como alimento e
é o déficit de oxigênio.
a) Encontre a solução do problema de valor inicial para
e
.
b) Encontre a solução do problema de valor inicial para
.
a) Encontre a solução do problema de valor inicial para
b) Encontre a solução do problema de valor inicial para
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear de EDOs
O conteúdo é resolução de EDOs lineares de primeira ordem: primeiro notamos que a equação de
é independente, e depois usamos variação de parâmetros (ou fator integrante) para
.
Passo 2
A equação para
é
que é separável. Integrando, obtemos
Passo 3
Para
temos
O fator integrante é
. Multiplicando ambos os lados por ele e integrando de
a
,
Para
essa integral vale
. Voltando a
,
Passo 4
Particularizando
e
, temos
e em
o coeficiente
, logo
Resposta
a) Para
e
:
b) Para
: