Exercício 5. Considere o seguinte problema de valor inicial
\left[\begin{array}{c} \frac{d L}{d t} \\\ \frac{d D}{d t} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -k & 0 \\\ k & -k_{r} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} L \\\ D \end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{c} L(0) \\\ D(0) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} L_{0} \\\ D_{0} \end{array}\right]
em que L é o teor de material orgânico que pode ser aproveitado pelas bactérias como alimento e D é o déficit de oxigênio.
a) Encontre a solução do problema de valor inicial para k=2 e k_{r}=3.
b) Encontre a solução do problema de valor inicial para k \neq k_{r}.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de EDOs
\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}L\D\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-k & 0\k & -k_r\end{pmatrix} \begin{pmatrix}L\D\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}L(0)\D(0)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}L_0\D_0\end{pmatrix}.
O conteúdo é resolução de EDOs lineares de primeira ordem: primeiro notamos que a equação de L é independente, e depois usamos variação de parâmetros (ou fator integrante) para D.

Passo 2

A equação para L é
\frac{dL}{dt}=-k\,L,
que é separável. Integrando, obtemos
L(t)=L_{0}\,e^{-k t}.

Passo 3

Para D temos
\frac{dD}{dt} + k_{r}\,D = k\,L(t) = k\,L_{0}\,e^{-k t}.
O fator integrante é e^{k_{r}t}. Multiplicando ambos os lados por ele e integrando de 0 a t,
e^{k_{r}t}D(t)-D_{0} = k\,L_{0}\int_{0}^{t}e^{k_{r}s}e^{-k s}\,ds = k\,L_{0}\int_{0}^{t}e^{(k_{r}-k)s}\,ds.
Para k\neq k_{r} essa integral vale \bigl(e^{(k_{r}-k)t}-1\bigr)/(k_{r}-k). Voltando a D(t),
D(t) = D_{0}\,e^{-k_{r}t} + \frac{k\,L_{0}}{k_{r}-k}\Bigl(e^{-k t}-e^{-k_{r}t}\Bigr).

Passo 4

Particularizando k=2 e k_{r}=3, temos
L(t)=L_{0}\,e^{-2t},
e em D(t) o coeficiente \tfrac{k}{k_{r}-k}=\tfrac{2}{3-2}=2, logo
D(t) = D_{0}\,e^{-3t} +2\,L_{0}\bigl(e^{-2t}-e^{-3t}\bigr) =2\,L_{0}\,e^{-2t}+(D_{0}-2\,L_{0})\,e^{-3t}.

Resposta

a) Para k=2 e k_{r}=3:
L(t)=L_{0}\,e^{-2t},\quad D(t)=2\,L_{0}\,e^{-2t}+(D_{0}-2\,L_{0})\,e^{-3t}.
b) Para k\neq k_{r}:
L(t)=L_{0}\,e^{-k t},\quad D(t)=D_{0}\,e^{-k_{r}t} +\frac{k\,L_{0}}{k_{r}-k}\Bigl(e^{-k t}-e^{-k_{r}t}\Bigr).

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