Encontre a solução geral do sistema linear não-homogêneo utilizando o método de variação de parâmetros:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral do sistema não-homogêneo usando variação de parâmetros para o sistema
Informações dadas e o que devemos obter:
Precisamos obter a solução geral
(ou seja, solução homogênea mais uma solução particular), usando o método de variação de parâmetros (variação das constantes).]
Passo 2
Resolvemos primeiro o sistema homogêneo
. A técnica mais prática é diagonalizar (ou obter autovalores e autovetores).
Calculamos o polinômio característico:
Desenvolvendo temos
Logo os autovalores são as raízes de
, ou seja
Agora os autovetores:
- Para
resolvemos :
daí
, escolhemos
.
- Para
resolvemos :
daí
, escolhemos
.
Portanto a solução geral do homogêneo é combinação linear das colunas exponenciais:
Passo 3
Construímos a matriz fundamental
cujas colunas são as soluções fund. obtidas:
Para aplicar variação de parâmetros usamos a fórmula
com
.
Calculamos o determinante de
:
Logo
é constante igual a
(boa notícia: facilita inversa).
A inversa de
é (usando fórmula da inversa 2×2)
Passo 4
Agora calculamos
. Lembre que
.
Multiplicando:
Calculamos componente a componente.
Primeira componente:
Segunda componente:
Portanto
Passo 5
Integramos
para obter
. A integral componente a componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Para obter uma solução particular podemos tomar as constantes de integração como zero (essas constantes correspondem às soluções do homogêneo que já estão em
). Assim escolhemos
Passo 6
Agora obtemos a solução particular
. Multiplicamos:
Calculando cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Logo
Passo 7
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
onde
são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais, se fossem dadas).]