(b) Encontre a solução geral do sistema linear não-homogêneo (cujo sistema homogêneo associado está na parte (a)) utilizando o método de variação de parâmetros:
Observação importante (que afeta o domínio das soluções): \mathbf{g}(t) tem singularidade em t=0, logo as soluções que encontrarmos serão válidas para t\neq 0.]
Passo 2
Resolver o sistema homogêneo por autovalores/autovetores — ideia e cálculo.
Explicação curta da ideia: para [\mathbf{x}’=A\mathbf{x}) procuramos soluções do tipo \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}. Substituindo, obtemos (A-\lambda I)\mathbf{v}=0. Logo \lambda é autovalor de A e \mathbf{v} é autovetor.
A segunda equação é múltiplo da primeira, então a condição é v_{2}=3v_{1}\]. Podemos escolher \(v_{1}=1, obtendo um autovetor
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Note que existe somente um autovetor (multiplicidade geométrica 1), ou seja, o autovalor 0 é degenerado e a matriz é defeituosa — precisamos de um autovetor generalizado para obter a solução geral.]
Passo 3
Autovetor generalizado (cadeia de Jordan) — teoria e aplicação.
Quando \lambda\) é raiz dupla mas há apenas um autovetor \(\mathbf{v}\), procuramos um vetor \(\mathbf{w}\) tal que
\[(A-\lambda I)\mathbf{w}=\mathbf{v}.
Aqui \lambda=0, então buscamos \mathbf{w} resolvendo A\mathbf{w}=\mathbf{v}. Seja \mathbf{w}=(a,b)^{T}. Então
\begin{cases} 3a-b=1,\\[4pt] 9a-3b=3. \end{cases}
A segunda é consistente (é 3 vezes a primeira). Da primeira, b=3a-1\]. Escolhemos uma solução simples: \(a=0 dá b=-1. Assim