(a) Encontre a solução do sistema linear homogêneo de e.d.o.'s usando o método de autovalores e autovetores:
\mathbf{x}^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{cc} 3 & -1 \\\\ 9 & -3 \end{array}\right) \mathbf{x}(t)
(b) Encontre a solução geral do sistema linear não-homogêneo (cujo sistema homogêneo associado está na parte (a)) utilizando o método de variação de parâmetros:
\mathbf{x}^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{cc} 3 & -1 \\\\ 9 & -3 \end{array}\right) \mathbf{x}(t)+\binom{\frac{1}{t^{2}}}{\frac{1}{t^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Encontrar a solução do sistema homogêneo
\mathbf{x}'(t)=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]9 & -3\end{pmatrix}\mathbf{x}(t).
  • (b) Usando a solução homogênea da parte (a), encontrar a solução geral do sistema não-homogêneo
\mathbf{x}'(t)=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]9 & -3\end{pmatrix}\mathbf{x}(t)+\begin{pmatrix}\dfrac{1}{t^{2}}\\[6pt]\dfrac{1}{t^{3}}\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
A=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]9 & -3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{g}(t)=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{t^{2}}\\[6pt]\dfrac{1}{t^{3}}\end{pmatrix}.
Observação importante (que afeta o domínio das soluções): \mathbf{g}(t) tem singularidade em t=0, logo as soluções que encontrarmos serão válidas para t\neq 0.]

Passo 2

Resolver o sistema homogêneo por autovalores/autovetores — ideia e cálculo.
Explicação curta da ideia: para [\mathbf{x}’=A\mathbf{x}) procuramos soluções do tipo \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}. Substituindo, obtemos (A-\lambda I)\mathbf{v}=0. Logo \lambda é autovalor de A e \mathbf{v} é autovetor.
Calcule o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -1\\[4pt]9 & -3-\lambda\end{pmatrix}.
Desenvolvendo:
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(-3-\lambda)-(-1)\cdot 9 = (3-\lambda)(-3-\lambda)+9.
Expandindo (3-\lambda)(-3-\lambda)=-9+\lambda^{2}. Assim
\det(A-\lambda I)=-9+\lambda^{2}+9=\lambda^{2}.
Portanto o polinômio é \lambda^{2}=0, ou seja autovalor \lambda=0 com multiplicidade algébrica 2.
Agora os autovetores para \lambda=0: resolvemos A\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Se \mathbf{v}=(v_{1},v_{2})^{T},
\begin{cases} 3v_{1}-v_{2}=0,\\[4pt] 9v_{1}-3v_{2}=0. \end{cases}
A segunda equação é múltiplo da primeira, então a condição é v_{2}=3v_{1}\]. Podemos escolher \(v_{1}=1, obtendo um autovetor
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Note que existe somente um autovetor (multiplicidade geométrica 1), ou seja, o autovalor 0 é degenerado e a matriz é defeituosa — precisamos de um autovetor generalizado para obter a solução geral.]

Passo 3

Autovetor generalizado (cadeia de Jordan) — teoria e aplicação.
Quando \lambda\) é raiz dupla mas há apenas um autovetor \(\mathbf{v}\), procuramos um vetor \(\mathbf{w}\) tal que \[(A-\lambda I)\mathbf{w}=\mathbf{v}.
Aqui \lambda=0, então buscamos \mathbf{w} resolvendo A\mathbf{w}=\mathbf{v}. Seja \mathbf{w}=(a,b)^{T}. Então
\begin{cases} 3a-b=1,\\[4pt] 9a-3b=3. \end{cases}
A segunda é consistente (é 3 vezes a primeira). Da primeira, b=3a-1\]. Escolhemos uma solução simples: \(a=0 b=-1. Assim
\mathbf{w}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Regra para a solução quando temos cadeia de comprimento 2 para \lambda=0: duas soluções independentes são
\mathbf{x}_{1}(t)=e^{0\cdot t}\mathbf{v}=\mathbf{v}, \qquad \mathbf{x}_{2}(t)=e^{0\cdot t}(t\mathbf{v}+\mathbf{w})=t\mathbf{v}+\mathbf{w}.
Ou seja,
\mathbf{x}_{1}(t)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}_{2}(t)=\begin{pmatrix}t\\[4pt]3t-1\end{pmatrix}.
Qualquer combinação linear dessas é solução geral do homogêneo. Portanto, a solução geral do sistema homogêneo é
\mathbf{x}_{h}(t)=C_{1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}+C_{2}\left(\begin{pmatrix}t\\[4pt]3t-1\end{pmatrix}\right),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.]

Passo 4

Preparar variação de parâmetros para o sistema não-homogêneo — ideia e fórmula.
Para \mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{g}(t) uma solução geral é
\mathbf{x}(t)=\Phi(t)\mathbf{C}+\Phi(t)\int \Phi(t)^{-1}\mathbf{g}(t)\,dt,
onde \Phi(t) é uma matriz fundamental cujas colunas são soluções independentes do homogêneo. Vamos escolher
\Phi(t)=\begin{pmatrix} \mathbf{x}_{1}(t) & \mathbf{x}_{2}(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & t\\[4pt]3 & 3t-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular \Phi(t)^{-1} explicitamente.
Determinante de \Phi:
\det\Phi = 1\cdot(3t-1)-t\cdot 3 = 3t-1-3t = -1.
Como \det\Phi=-1 (constante), a inversa é simples:
\Phi(t)^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}3t-1 & -t\\[4pt]-3 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1-3t & t\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular \mathbf{u}'(t)=\Phi(t)^{-1}\mathbf{g}(t) e integrar para obter \mathbf{u}(t).
Temos \mathbf{g}(t)=\begin{pmatrix}t^{-2}\\[4pt]t^{-3}\end{pmatrix}. Então
\mathbf{u}'(t)=\begin{pmatrix}1-3t & t\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}t^{-2}\\[4pt]t^{-3}\end{pmatrix}.
Calcule componente a componente:
Primeira componente
u_{1}'(t)=(1-3t)\,t^{-2}+t\,t^{-3}=\frac{1-3t}{t^{2}}+\frac{1}{t^{2}}=\frac{2-3t}{t^{2}} =\frac{2}{t^{2}}-\frac{3}{t}.
Segunda componente
u_{2}'(t)=3\,t^{-2}-1\cdot t^{-3}=\frac{3}{t^{2}}-\frac{1}{t^{3}}.
Agora integramos (lembrando do valor absoluto no logaritmo):
u_{1}(t)=\int\left(\frac{2}{t^{2}}-\frac{3}{t}\right)dt = -\frac{2}{t}-3\ln|t| + C_{1},
u_{2}(t)=\int\left(\frac{3}{t^{2}}-\frac{1}{t^{3}}\right)dt = -\frac{3}{t}+\frac{1}{2t^{2}} + C_{2}.
Para obter uma particular via variação de parâmetros tomamos a parte particular com C_{1}=C_{2}=0:
\mathbf{u}_{p}(t)=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{t}-3\ln|t|\\[8pt]-\dfrac{3}{t}+\dfrac{1}{2t^{2}}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Obter a solução particular \mathbf{x}_{p}(t)=\Phi(t)\mathbf{u}_{p}(t) e simplificar.
Multiplicamos \Phi(t) por \mathbf{u}_{p}(t):
Primeira componente de \mathbf{x}_{p}:
x_{p,1}(t)=1\cdot u_{1}(t)+t\cdot u_{2}(t) =\Big(-\frac{2}{t}-3\ln|t|\Big)+t\Big(-\frac{3}{t}+\frac{1}{2t^{2}}\Big).
Simplificando:
x_{p,1}(t)=-\frac{2}{t}-3\ln|t|-3+\frac{1}{2t} =-3-3\ln|t|-\frac{3}{2t}.
Segunda componente de \mathbf{x}_{p}:
x_{p,2}(t)=3\cdot u_{1}(t)+(3t-1)\cdot u_{2}(t).
Calcule termo a termo e simplifique:
3u_{1}(t)= -\frac{6}{t}-9\ln|t|,
(3t-1)u_{2}(t)=(3t-1)\Big(-\frac{3}{t}+\frac{1}{2t^{2}}\Big) = -9+\frac{3}{t}+\frac{3}{2t}-\frac{1}{2t^{2}}.
Somando:
x_{p,2}(t)=-9-9\ln|t|-\frac{3}{2t}-\frac{1}{2t^{2}}.
Assim a solução particular é
\mathbf{x}_{p}(t)=\begin{pmatrix} -3-3\ln|t|-\dfrac{3}{2t}\\[8pt] -9-9\ln|t|-\dfrac{3}{2t}-\dfrac{1}{2t^{2}} \end{pmatrix}.]

Passo 8

Escrever a solução geral do sistema não-homogêneo.
A solução geral é soma da homogênea com a particular:
\mathbf{x}(t)=C_{1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix} +C_{2}\begin{pmatrix}t\\[4pt]3t-1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -3-3\ln|t|-\dfrac{3}{2t}\\[8pt] -9-9\ln|t|-\dfrac{3}{2t}-\dfrac{1}{2t^{2}} \end{pmatrix},
válida para t\neq 0.]

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{x}_{h}(t)=C_{1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}+C_{2}\begin{pmatrix}t\\[4pt]3t-1\end{pmatrix}.\n
(b) \displaystyle \mathbf{x}(t)=C_{1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}+C_{2}\begin{pmatrix}t\\[4pt]3t-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3-3\ln|t|-\dfrac{3}{2t}\\[8pt] -9-9\ln|t|-\dfrac{3}{2t}-\dfrac{1}{2t^{2}} \end{pmatrix},\quad t\neq 0.]

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